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  • 《等比数列的前n项和公式》教学设计的反思
  • 作者: 来源: 时间:2009-8-10 15:32:19 阅读次 【
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    1.   情境创设与反思

    1.1 情境设计片断

    《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉.这既是对教材编写的建议,也是对课堂教学实践的要求.因此,本次参赛教师在教学设计中都进行了一定的问题情境创设,下述的6个情境是参赛教师选用的情境摘录.

    情境1: 某种细胞进行细胞分裂,已知每个细胞每分钟分裂为2,那么某一个细胞1小时后分裂的细胞个数总和是多少呢?

    情境2:国际象棋起源于古代印度,关于国际象棋有这样一个传说:国王要奖赏国际象棋的发明者,问他想要什么.发明者说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个小格内,赏给我一粒麦子,在第二个小格内给两粒,第三格内给四粒,依次类推,每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2,直到第64个格子为止.把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒,都赏给您的仆人吧.”国王觉得这并不是很难办到的事,就欣然同意了他的要求.你认为国王应该给发明者多少粒麦粒呢?国王有能力满足发明者的要求吗?

    情境3:一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来,但提出了如下条件:30天中,富人第一天借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30天后互不相欠.穷人听后觉得挺划算,本想定下来,但又想到此富人是吝啬出了名的,怕上当受骗,所以很为难.请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.

    情境4:某公司由于资金短缺,决定向银行进行贷款,双方约定,3年内,公司每月向银行借款10万元,为了还本付息,公司第一个月要向银行还款10,第二个月还款20,第三个月还款40,……,即每月还款的数量是前一个月的2.请问:假如你是公司经理或银行主管,你会在这个合约上签字吗?

    情境5:周末,王明去表弟家作客,表弟给王明出了一道难题:从今年起,他每年年初存100,直到第十年底一并取出,一共是多少元?(年利率0.05).王明想,只要算出每年存入100元本利和,然后再求和就行了,于是他拿笔列式计算:

    第一年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1 0.05)10,

    第二年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1 0.05)9,

     ……,

    第十年初存入100元到第十年底取出的本利和为:100(1 0.05),

    一共有:S=100(1 0.05) 100(1 0.05)2 100(1 0.05)10.

    王明发现借助计算器能计算出S的值,但非常麻烦、费时,他感到束手无策了.今天,我请同学们一起来帮助王明解决这一难题.

    情境6:话说猪八戒自西天取经回到了高老庄,从高员外手里接下了高老庄集团,摇身变成了CEO.可好景不长,便因资金周转不灵而陷入了窘境,急需大量资金投入,于是就找孙悟空帮忙.悟空一口答应:“行!我每天投资100万元,连续一个月(30),但是有一个条件是:作为回报,从投资的第一天起你必须返还给我1,第二天返还2,第三天返还4……即后一天返还数为前一天的2.”八戒听了,心里打起了小算盘:“第一天:支出1,收入100;第二天:支出2,收入100,第三天:支出4,收入100万元;……,发财了!……”心里越想越美……,再看看悟空的表情,心里又嘀咕了:“这猴子老是欺负我,会不会又在耍我?”

    假如你是高老庄集团企划部的高参,请你帮八戒分析一下,按照悟空的投资方式,30天后,八戒能吸纳多少投资?又该返还给悟空多少钱?

    1.2  情境设置的反思

    教学情境是教师为了发展学生的心理机能,通过调动学生的情商”,激发学生的兴趣、求知欲等非智力因素来增强教学效果而营造的情绪氛围.建构主义学习理论认为:学习是学生主动的建构活动,学习应与一定的情境相联系,在实际情境下进行学习,有利于学生用原有的知识和经验去同化或顺应当前要学习的新知识.创设教学情境,让学生触境生情”,既可以掌握数学知识和技能,又可以体验教学内容中的情感,使原本枯燥的、抽象的数学知识变得生动形象,饶有趣味.但如何设计问题情境,才能使数学知识的发生及形成更为自然,更能贴近学生的认知特征?这应该是每一位教师进行教学设计的重要切入点.

    情境1是从数列概念的问题情境中剥离出来的,但它不符合求等比数列前n项和的意境,因为细胞分裂后,前一个细胞自然消失,它不存在等比数列前n项求和的计算要求.这显然是由于参赛教师的认知缺陷,而造成的科学性错误. 情境2是多数参赛教师的设计方案,这正是基于数学教师对数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.但该情境不贴近学生的生活实际,缺乏与时俱进的教育理念支撑. 情境3~6都以市场经济为切入点,虚拟问题情境,比较符合学生的接受水平,但从学生的心理健康层面与社会环境因素分析,又存在一定的差异.特别是情境3,穷人富人为虚拟人物叙述问题情境,不利于学生的身心发展,容易对学生的社会价值观和世界观产生不利影响.相比之下, 情境4突出教育的激励功能,对学生的成长有良好的心理暗示作用;情境5强调情境的生活化,力求使学生切身体会数学来源于生活,又服务于生活的数学本质;情境6则与我市的人文环境自然融合,更显亲切、和谐与幽默,有较强的感染力.

    应该引起注意的是,问题情境并不单一的指向实例或情景,它还包括问题、活动、实验、叙述等多种形式.绝不能把应用作为数学课程的唯一目标,数学还应具备抽象的心智训练功能.根据高中学生的认知特征,可以保持对数学问题的适度抽象,课堂教学是应用价值与理性价值的统一.苏教版教材正是依据这样的理念进行编写的.教材中,确实有许多章节都是以入口较浅的、学生能理解的生活实例或其他实例,来引发学生思考的,这是章节的主背景,但也有以问题形式引领章节内容的,这是章节的生长点,是章节的核心内容或研究方法的出发点.而本节内容的教材处理方式属于后者,直接以问题为情境引发学生探索.也不失为一种好的情境设置.

    2.   公式推导与反思

    2.1  探究设计片断

    丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念.《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流.鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.为贯彻该理念,数学探究活动成了课堂教学的全新教学方式.本次参赛教师对等比数列的前n和公式的推导,设计了如下一些探究方案.

    方案1:直接给出等比数列的前n项和公式:q?/SPAN>1,Sn==;q=1,Sn=na1.引导学生给出公式的推导方法.预设了如下3种方法.

    方法一:(见教材推导过程,此处略)

    方法二:由等比数列的定义,q,

    根据等比的性质,=q,

    =q,(1-q)Sn=a1-anq.

    ∴当q?/SPAN>1,Sn=.

    方法三: Sn=a1 a2 a3 an=a1 q(a1 a2 a3 an-1)=a1 qSn-1=a1 q(Sn-an),

    (1-q)Sn=a1-anq.(结论同上)

    方案2: 从情境提炼问题:S64=1 2 22 23 … 263 .          ①

    (教师引导:上式中的数有何规律?若用公比2乘以上面等式的两边所得新式子有何特点?)

    若用公比2乘以上面等式的两边,得到

    2S64=2 22 23 … 263 264 .                        ②

    (教师引导:①两式有何关系?)

    为了便于比较两式,我们将它们列在一起:

    S64=1 2 22 2 … 263 ,                  ①

    2S64=2 22 2 … 263 264  .                   ②

    (教师引导:①两式可作如何处理?)

    式减去,可以消去相同的项,得到:S64=264-1.

    回归问题:能否仿照上述解题方法,给出一般等比数列的前n项和公式?(以下略)

    方案3: 等比数列有两大类:公比q=1q?/SPAN>1两种情形.q=1,Sn=na1.

    q?/SPAN>1,Sn=a1 a1q …… a1qn-1=?

    S1=a1,

    S2=a1 a2=a1 a1q=a1(1 q),

    S3=a1 a2 a3=a1 a1q a1q2=a1(1 q q2).

    引导学生从1 q q2的代数结构出发,联想到立方差公式,得出1-q3=(1-q)(1 1 q q2),从而S3=,再退一步S2=,S1=.归纳猜想: Sn=.最后对公式进行变形,寻求公式的推导方法.Sn-qSn=a1(1-qn)的左式结构,考虑对SnqSn作差,从而引出错位相减法.

    方案4: 引导学生对Sn=20 21 22 2n-1的结果进行猜想:

    S1=1,S2=3,S3=7,…,猜想20 21 22 2n-1=2n-1;

    进一步在教师的适时引导下及学生的共同努力下可得出:

    30 31 32 3n-1 =;          40 41 42 4n-1=.

    再猜想出更一般的结论:1 q q2 qn-1=(q?/SPAN>1).

    等比数列的求和公式也呼之欲出: a1 a1q a1q2 a1qn-1=(q?/SPAN>1).

    最后在教师的启发下,通过多项式的变形,引出错位相减法.

    方案5:复习等差数列的前n项和公式的推导方法:a1ana2an-1,所有与首末等距离两项交换位置,得到Sn的倒序和的形式,然后两式相加.这样2Sn就是一个有n 项的每一项都是a1 an的常数列,从而导出Sn的公式.

    激发学生类比联想:等比数列是不是也可以用类似的方法进行求和呢?让学生亲自去试一试.这时候学生们很自然的会用倒序相加的方法来进行思考.结果显然是行不通的.

    教师适时点拔,引导学生进行思维发散——从倒序相加的定势中解脱出来.等差数列的求和方法,形式上是倒序相加,本质上就是消去数列中项与项之间的差异,把省略号(……)无形化为有形”(上下对应两项的和都等于a1 an).对于等比数列而言,难点也是如何把省略号(……)无形化为有形”?引导学生从等比数列的定义出发,进一步认识等比数列从第二项起,每一项都是前一项的q,也就是说将每一项乘以q以后就变成了它的后一项.那么将Sn这个和式的两边同时乘以q,则在q Sn这个和式与Sn的和式中,就会出现许多相同的项.这样通过两个和式相减,自然可以将省略号(……)无形化为无影”(相同项相减等于0).

    2.2  探究方案的反思

    数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程,深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正做到让学生动起来”,让课堂活起来”.

    纵观5个方案可以发现,方案1是接受性学习,由教师直接抛出等比数列前n项和的公式,让学生寻求证明的方法,此时的探究是没有任何意义的.学生已经知道问题的结论,就失去探索未知的冲动,自然解决问题的内驱力也不会太高.再者,如果没有教师点拔引导,普通的学生能找到解题的思路吗?况且初中教材已经删去了等比定理.恐怕只能是由教师提供解题方法,学生更多的是惊叹于方法的神奇,却没有自主获得结论的成就感,同时也不可能使错位相减法得到应有的重视.方案2~4都采用从特殊到一般的思想方法,但方案2略显单薄,没有突破错位相减的认知瓶颈”,依然有抛出的嫌疑.而方案34在特殊到一般的过程中,引领学生进行似真推理,归纳猜想出等比数列前n项和公式,并从结构分析获得解题灵感.是较好的探究方式.

    相比之下,方案5借助推导等差数列求和公式的思想方法,类比寻求推导等比数列的前n项和公式的方法,则更符合高一学生的认知特征.应该说等差和等比数列的求和公式的推导方法,从数学思想和数学方法上讲是一致的,都是将无限化为有限”,但是它们也有差异,即错位的方法不同.正是由于这种差异,致使很多参赛教师都错误地认为:不能通过类比推理探究等比数列的前n项和公式的推导方法.实际上,他们是基于这样的错误认识:通过运算方式的类比,由等差数列的前n公式只可以类比得出等比数列的前n公式.而这里却是解题方法的类比.

    从认知层面看,在陈述性知识、程序性知识与策略性知识的分类中, 等比数列的前n项和公式属于学生最高需求层次的掌握策略与方法的策略性知识.因此,本节内容的重点有两个,一个是掌握等比数列的前n项和公式,一个是掌握公式推导中涉及到的数列求和方法——错位相减法.在一节课的时间内要达到这样的双重目的,时间是教学设计时必须考虑的要素,方案5利用类比进行公式推导,应该说很好地解决了这个问题.既使求和方法得以同化,形成能力,又节省时间便于知识的强化.方案34的公式推导及证明势必占用大量的时间,完成本节课的两大学习任务是困难的;方案1直接给出公式,介绍证明方法,虽然可以留有更多的时间供学生练习,但难免有重结论轻过程之嫌,似乎是在穿新鞋,走老路”,有点不合时宜.

    我们必须承认:在数学课堂教学中,实施探究教学是基于新课程理念的教师的一种追求,长期渗透于教学之中,势必会取得显著的成效.但我们还应该意识到,探究教学需要花费很多时间.正如《数学课程标准》中的要求高中阶段至少应为学生安排1次数学探究活动.还应将课内与课外有机地结合起来.”再说,探究教学还受教学进度、教学内容、教师精力、班级人数等等条件制约,特别是新教材课时紧、任务重,每课必探究是不现实的,真正意义上的探究教学也是不容易的.教师应善于根据不同的教学内容、灵活应用不同的教学方法.教师谋求的是不同教学方式之间的平衡与互补,寻求的是不同教学方法的一种最佳的整合.探究就探究,接受就接受.只有多种教学方法取长补短、平衡互补、相辅相成,才能促使学生的最优发展.

    3.结语

    结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动.

    虽然数学课堂由表演走向对话,由预设走向生成,已是大势所趋,人心所向,但进行教学设计依然是重要的备课活动,只有充分研究教材中知识的形成与发展过程,关注学生的学情和思维最近发展区”,学生的主体地位才有可能体现,学生的潜能才有可能被开发,课堂才有可能鲜活.

     

     

    参考文献:

    [1] 中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

    [2] 奚定华.数学教学设计[M].上海:华东师范大学出版社,2000

    [3] 徐斌艳.数学教育展望[M].上海:华东师范大学出版社,2001

     

     

     

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