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  • 《直线的斜率》教学设计
  • 作者: 来源: 时间:2009-9-2 9:57:06 阅读次 【
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      邹小东(江苏省南菁高级中学)  

    [教学目的]

    1了解解析几何这门学科及其研究方法;

    2理解直线的斜率,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线的斜率的计算公式;

    3理解直线的倾斜角的概念,知道直线的倾斜角的范围;

    4掌握直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系;

    5使学生感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系,从而体会研究直线的方向的变化规律,只要研究其斜率的变化规律。

    [教学重点] 直线的斜率

    [教学难点] 直线的斜率公式的理解

     [教学方法]讲解法、发现法、讨论法

    [教具准备]木板

    [课程内容分析]

    本节课是在学生学习了函数,对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下,解析几何的第一节课,教师应向学生展示在平面直角坐标系下,数和形的关系,从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题,为今后的学习奠定基础。

    建议在教学过程中从学生熟悉的一次函数的图象着手,导出解析几何这门学科,从解析几何的研究方法和平面内确定一条直线的条件,启发学生探索和发现刻画直线倾斜程度的量。

    本节课的重点是直线的斜率,由两点确定一条直线联想能否用两点的坐标来表示,结合学生熟悉的坡度的定义,揭示如何用两点的坐标表示,以及表示的合理性。对直线斜率公式的应用,要注意公式成立的条件和公式的正用、逆用,特别要说明斜率不存在时,直线存在(让学生体验此时直线的位置,以加深印象),在逆用时强调斜率是一比值,由它能知道直线在坐标系中的位置(体现数和形的结合,让学生利用图象发现并归纳),若再有一点即知直线上另一点的坐标(启发学生利用斜率公式进行求解,提醒注意不唯一)。

    直线的倾斜角是从几何的角度来刻画直线在坐标系中的倾斜度,如何定义直线的倾斜角?对特殊的直线倾斜角又怎样规定?对照图形予以说明,进而明确直线的倾斜角的范围。关于直线的倾斜角和斜率的关系,要渗透分类讨论的数学方法。考虑到学生对诱导公式和正切函数的单调性还不知道,故应附以说明和借助计算机或计算器的定量计算,让学生有所了解。

    教学过程

    一、问题情景

    情景1:画出一条直线

    问题1:对所画图形你知道多少?

    二、学生活动

    学生进行思考、联想、讨论

    由学生说出或经启发得到:是一次函数图象。

    进而设问:能否知道是哪个一次函数?是否需要什么条件?

    学生回答并求出函数解析式,就函数解析式与其图象的关系教师指出:直角坐标系的建立架起了“数”与“形”的桥梁。解析几何这门学随之而产生。(学科介绍:解析几何的创始人——笛卡尔是17世纪法国伟大的数学家,它是用代数的方法来研究几何问题的学科。因此同学们在学习这门学科的过程中,务必耐心细致地进行计算,确保运算的准确。)

    2:怎样才能画出一条直线?

    学生回答并演示(过两点;过一点及确定的方向)

    观察:直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系

    3:我们熟悉的坡度是怎样确定的?

    利用木板进行演示,让学生有一个感性认识,体验坡度是由什么来确定的。揭示:(坡度=

    4:如果给你直线上两点,你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗?

    由学生讨论引出课题:直线的斜率

    三、建构数学

    直线的斜率

    定义:已知两点Px1,y1Q(x2,y2),如果x1x2,那么直线PQ的斜率为:

           
     
       
     


    ⑵深化对定义理解:

    ①斜率是直线倾斜程度的数量化,是一比值

    斜率公式与两点的顺序有关吗?为什么?

    ③对于不垂直于x轴的直线,其斜率是否唯一确定?

    ④与x轴垂直的直线,其斜率又是怎样呢?

    四、数学运用

    1:直线l1l2l3都经过点P32),又l1l2l3分别经过点Q1-2-1),Q24-2),Q3-32),试计算直线l1l2l3的斜率。[变:点Q1m-1),求l1的斜率;若此时l1的斜率为2,求m的值。

    点评:①本例意在巩固斜率公式,变式可加深认识公式成立的条件;

    k0,k=0,k0,k不存在时,直线的形状,让学生通过画图体验数形结合;

          ③探索函数y=kx b中的k的几何意义:

    设点Px1,y1)和点Qx2,y2)(x1x2)为函数y=kx b图象上任意两点。则  从而 知:k为直线的斜率。

    为今后研究直线的方程与一次函数的关系奠定基础。

    2:经过点(32)画直线,使直线的斜率分别为:;②

    分析:关键是确定直线上另一个点

    点评:一般可利用斜率公式根据斜率k和已知点Px1,y1)而得到另一个点Qx2,y2(不唯一)由

    以求进一步深化对斜率的理解,特别是公式中的△x与△y可正可负的认识。

    情景2:过一点画出许多直线,在直角坐标系观察各条直线的位置。

    问题2:反映直线倾斜程度的量除了斜率外,还可以用什么来表示?

    学生观察并进行讨论,引出:

    直线的倾斜角

    ⑴定义:(分与x轴相交的直线和与x轴重合或平行的直线两种情况)

    ⑵范围:

     

    3:设直线l1过定点A,其倾斜角为a,若将l1绕点A逆时针方向旋转45?/SPAN>,得到直线l2,l2的倾斜角q

    点评:通过画图形加深对倾斜角定义的理解,结合图形确定对倾斜角进行分类的标准,从中体会分类讨论的思想方法。

    y

    直线的斜率和直线的倾斜角的关系

           
       


                                        

    分直线的倾斜角为锐角(见图)和直线的倾斜角为钝角(见图)启发学生利用斜率的定义发现:(注:

    点评:⑴都是刻画直线倾斜程度的量,直线的倾斜角侧重于几何直观形象,而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向;

    ⑵直线的倾斜角a是角,且0?/SPAN>a180?/SPAN>,而斜率k是实数,且kR

    ①当a90?/SPAN>时,k=tana②当a=90?/SPAN>时,k不存在;③当a=0?/SPAN>时,k=0a为锐角时,k0ka的增大而增大;⑤当a为钝角时,k0ka的增大而增大。(通过计算机、计算器的计算让学生感知)

     

    ⒋练习

    判断下列命题的真假:

       若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等;

       若两条直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等;

       若两条直线的倾斜角不等,则它们中倾斜角大的,其斜率也大;

       若两条直线的斜率不等,则它们中斜率大的,其倾斜角也大。

    已知y轴上的点B与点A2)连线所成直线的倾斜角为120?/SPAN>,则点B的坐标是____________________

    若经过点A1-t,1 t)和点B32t)的直线的倾斜角为钝角,求实数t的取值范围。

    ⒌ 回顾小结

    6.课外作业

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