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  • 一道复习题的变式研究
  • 作者: 来源: 时间:2009-8-10 15:25:27 阅读次 【
  •   俞新龙(浙江)

    尽管现在全社会都在提倡素质教育,减轻学生的负担,但现在的高中生学习还是非常辛苦的.“数学问题是数学的心脏”,因此,提高学生数学解题能力是数学教学的一个重要任务.一题多变,能使学生发散思维,提高数学解题能力.下面谈谈笔者对高一第二章内容中课本一道复习参考题的变式研究.

    题目  (复习参考题二B3(2))证明:,.

    题目的证明是比较简单的,此处略.下面我们来研究本题的一些变式.

     

    1        改变具体的函数

    11 若把函数改成函数,则本题就成为1994年理科高考试题.

    y

    例1(1994年理科高考)已知函数,,,,证明:.

    x

    x1

    x2

    o

    A

    B

    分析  证明该题时,许多学生都是这样解的,作出函数上的图象,如图,,,.则显然AB在弧AB上方,故弦AB中点的高度大于C点纵坐标,.这种证法是错误的,而且比较隐蔽,学生不易察觉.用直观图形来证明不等式成立是一个逻辑循环,即自己来证明自己.其实,本题我们可以根据正切函数的定义,结合单位圆来证明.

    12 若把函数改成函数,则本题就成为1994年文科高考试题.

    例2(1994年文科高考)已知函数,,,判断的大小,并加以证明.

    分析  本题比理科试题要简单,只要依次求的值,然后根据对数函数的运算法则和性质即可证明.

     

    2  把结论变成条件,判断满足条件的函数的个数

     

    例3(第十五届希望杯高二1试)下列四个函数:

            

                

    其中,能是恒成立的函数的个数是(   

           A1B2C3D4

    分析  本题需分别比较四个函数中的大小,满足不等式的函数就是要计数的函数.当然,若了解的本质,则我们也可从函数图象上直观判断.函数满足要求,因此选(B.

     

     

     

     

    3        把结论变成条件,形成信息题

    把结论变成条件,给出凸函数的概念(或性质),以此为信息出考题.

    例4 任取,,上的凸函数,则下列图象中,是凸函数图象的是(  )

    x

    o

    a

    (A)

    (B)

    (C)

    (D)

    a

    A

    B

    C

    P

    a

    b

    b

    b

    b

    y

    y

    y

    a

    o

    o

    o

    x

    x

    x

    y


    分析  本题把题目中的结论作为条件给出,给出了中学数学内容中没有的新概念——凸函数,是一道定义新概念信息题,考查学生获取信息、分析和处理信息的能力.本题理解凸函数的定义后便可直接解答.在函数图象上取两点,,则线段AB的中点C的坐标为.由凸函数的意义知,当点总在点C的上方时,该图象即为凸函数的图象,故选(D).

    4        把变量推广到有限个变量

    例5(2002年成都诊断性测试())已知凸函数的性质定理:如果函数区间D上是凸函数,则对于区间内的任意,有.若函数在区间上是凸函数,那么在,的最大值为(  )

    (A)(B)(C)(D)

    分析  本题对变量的个数进行了推广,同时给出了凸函数的性质定理这一中学数学里没有的新性质,同样属于定义型创新题,主要考查学生获取信息、分析和处理信息的能力以及运用新概念(性质)解决数学问题的能力.理解了凸函数的性质定理,本题是易解的.因为由凸函数的性质定理可得,所以选(C).

    5  把数值转化为一般情况

        例6(2002年北京高考)如图所示,是定义在上的四个函数,其中满足性质:“对中任意的x1x2,任意恒成立”的只有(  )

     
     

     

     

     


    (A) (B) (C) (D)

    分析  本题实际也是一个凸函数问题.我们可以用特殊值法解该题,因为,,则不等式变为,所以选(A).

    小结:以上我们对一道复习参考题从五个角度的变式进行了研究,不仅解决了与凸函数有关的一类问题,而且还训练了近几年高考频繁出现的信息题问题,可谓一举两得,同时也发散了学生的思维,提高了学生解题的能力.,若能点一下凹函数的有关问题,并让学生类比凸函数解决,则更能启发学生的思维!

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