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  • 新课程教材习题教学的再探索
  • 作者: 来源: 时间:2009-8-10 15:34:38 阅读次 【
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    俞新龙(浙江)

    2008年第六期《中国数学教育》高中版刊登了笔者《新课程教材习题教学的实践探索》一文,该文是笔者对高一新课程教材习题教学的一点实践总结,作为该文的补充,本文继续介绍几个笔者在高一新课程教材习题教学中比较受学生欢迎的教学案例,供各位同行参考。

    案例1  对习题开展研究性学习

    必修IV习题3.1 B3:观察以下各等式:

    。分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。

    本题有着很悠久的高考背景,因为在历年高考中以此题为题材的考题时有出现,如

    1的值等于__________1990年);

    2)求的值(1992年);

    3)求的值(1995年)等;同时在在各种资料上还能找到不少类似地问题,如(4

    5)求的值等。因此,本题的起点低,学生易入手且能调动他们的学习兴趣,是开展研究性学习的一道好题。

    笔者先让基础比较差的学生A计算,中下生B计算,主要目的在于检测特殊角三角值的掌握情况,并通过这两题的成功解决希望能调动他们学习的情绪,接着让中等生C计算,他给出了我预计的正确做法,即。此时笔者适时抛出题目(见上面),请学生讨论。至此,本题的规律是不难寻找了,马上有学生D给出命题及证明如下: ,证明类似C给出的过程(此处略)。余下时间进行了以下研究性学习。

    研究1  以原题目为依托,探究探索性问题:是否存在角度,使,若存在,求出常数,若不存在,请说明理由。

    评注:(1)若熟知题目结论,则可以用先猜后证的方法进行解决,即可以猜测,然后说明命题成立即可;(2)还可以考虑将角度任意化的情况;(3)提出该题的几个等价命题: 是否存在角度,使,若存在,求出常数,若不存在,请说明理由。 是否存在角度,使,若存在,求出常数,若不存在,请说明理由。是否存在角度,使,若存在,求出常数,若不存在,请说明理由。

    我们知道三角中有许多类似地具有明显规律的题组,如利用正切两角和或差的变形式解答的问题等,因此笔者在备课时就确定本节课的主题是:规律型三角题和其探索性变式的解答。因此接下去笔者给出一道练习题供学生练习。

    练习:设,则下列一系列的等式成立: 。观察、研究上述等式,设,试写出一个对任意角都成立的类似的等式,并给予证明。

    练习时学生普遍看出了角度的关系是,因此有很大一部分学生给出的答案是,但在用检验时出现了问题, ,而,因此两边是不等的!于是进一步修正为,并证明如下:

    讲评后继续研究原题的一个发散性变式。当然这个变式最好能通过引导学生自己提出来。

    研究2  原题目的发散变式:先计算以下各式的值: ,。;然后分析上述各式的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并对等式的正确性作出证明。

    评注:其实该结果曾作为老教材<<代数>>上册237页的一道习题。同样可引导学生提出该问题的探索性变式,从另一番风景中来认识本题潜在的学习功能。

    研究以研究2为依托,探究探索性问题:是否存在常数,使,若存在,求出常数,若不存在,请说明理由 (不用写出所有值,写出满足题意的一个值即可) 。也可以这样表达: 是否存在常数,使函数为常数? 若存在,求出常数,若不存在,请说明理由(不用写出所有值,写出满足题意的一个值即可)

    本题除了像研究1一样可以给出几种等价命题外,笔者着重引导学生研究了题中出现的三角中角度的实质来进一步展开研究,即题中出现的三个余弦中的角度具有关系:第三个余弦中的角度是第一个余弦中角度的2倍与第二个余弦中角度的等差中项。于是得到

    研究研究2的本质变式:

    (1)    ,求的值。

    (2)    且满足,证明

    案例2  挖掘习题的内涵

    必修24.2节练习2:已知直线与圆心在原点的圆C相切,求圆C的方程。

    在原教材中,第7.6节圆的方程中例2是求关于过圆上一点的切线问题,在新课程教材中却没有了这方面的内容,因此,我们不妨以该题为载体来挖掘内涵。

    在要求学生板演并评析解决问题的方法后,笔者要求学生继续解答

    挖掘1:求切点的坐标。

    在求出切点坐标后,引导学生把原问题一般化后,要求解答

    挖掘2:求经过圆上一点的切线方程。

    在解决该问题时,教师不要急于分析引导,因为在解决这个问题时一定要注意斜率不存在的情况,但学生通常是不会注意到的,正好借该题对学生进行一次教育。

    在求得了切线方程后,继续研究

    挖掘3:若点在圆O内,判断直线与圆O的位置关系;若点在圆外,则直线与圆的位置关系是什么?

    从笔者的教学经验看,挖掘3是历届学生的一个易错点,通过这样的教学很自然的就涵盖了这个知识点。因此,教学时一定要让学生自己讲出思考的方法,然后再进行评析。

    通过三个挖掘,充分发挥了该题的功能,考查了求圆方程、求切点、求切线及判断直线与圆的位置关系等知识点,可谓一题数得。

    案例3  总结问题解决的常见方法

    必修510页习题1.1B2:在中,如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点?

    笔者查阅了以前的教材,发现上述习题是人教实验教材新增加的一道习题。我们知道,判断三角形形状是三角知识的一个重要应用,也是高考中经常出现的一个考点。那么如何来判断三角形形状呢?该题正是总结判断三角形形状方法的载体。

    方法1:用正弦定理或余弦定理判断

    1 必修510页习题11B2

    解析:根据题中给出的条件,从边入手可以用正弦定理解决,从入手可以用余弦定理的推论解决。

    解法1:正弦定理;解法2:余弦定理

    评注:解法1要注意漏掉的情况,而解法2要注意漏掉因约去公因式的情况,这样都会导致丢解。

    练习题1:在中,已知,试判断此三角形的形状。

    有些问题仅能用其中的一种,例如以下两个问题。

    方法2:用正弦定理判断

    2 已知在中,,则为( 

    A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定

    评注:如果题中涉及到的三角形中的条件只是三内角的正弦之间的关系,则一般只能用正弦定理(或变形)来解决。

    练习题2:在中,若,那么(  )

    (A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形

    方法3:用余弦定理判断

    3 若三角形的三边长分别为345,则将三边增加相同的量后所得到的新三角形为(  )

    (A) 直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)不能确定

    评注:如果题中涉及到的三角形中的条件只是三边的关系,则一般只能用余弦定理(或变形)来解决。

    练习题3:在中,如果,则___________三角形(填“锐角”、 “直角”或“钝角”)

    方法4:用三角诱导公式判断

    显然下面两个问题不能用正弦或余弦定理解决了,怎么解答呢?

    4 中,,则(  )

    (A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)不能确定

    5 中,角的对边分别为,其中边最长,并且,判断的形状。

    练习题4:在中,若,试判断的形状。

    附练习题参考答案:

    1.等腰三角形或直角三角形;2.(B)3.钝角; 4.等腰三角形。

    最后总结:判断三角形的形状问题,通常将角转化为边,或将边转化为角,通过三角或代数变形运算转化为反映三角形类型特征的数量关系(如边的相等关系、勾股定理关系、角的相等关系、角的三角函数值大小等),然后作出判定。上述四种类型是常见的,当然在其他章节中也存在类似的问题,例如可用向量、直线的斜率等知识判断。

    在新课程的教学中,由于教学内容偏多、教学时间偏紧,教师对课后习题的教学缺少足够的重视与引导,这是舍本逐末的做法。希望通过本文与第六期已发表的文章抛砖引玉,引起各位同行对新课程教材习题教学的重视,并付之实践。

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