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  • 数学教学要训练学生解题的思路
  • 作者: 来源: 时间:2009-8-10 15:41:40 阅读次 【
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    陈体贵(桐梓县第二高级中学)

     

    思路,指思考问题的角度、方法和途径。数学解题的思路,就是指数学思想方法,它是数学知识最本质的概括,是数学的精髓。学习数学只有掌握了数学思想方法,才能找到解题的途径。因此数学教学必须训练学生解题的思路。

    求解数学应用题的思路有三:(1)阅读理解题意和图意,以了解问题的背景,领悟从背景中抽象概括出来的数学实质;(2)进行数学设计,将实际问题转化为具体的数学问题:(3)进行标准化求解,将数学问题转化成常规问题求解(或以函数求解,或以方程求解)。例如:

    1.如图是我市某一天的温度随时间变化的图象,通过观察可知下列说法错误的是( ):

    A)这天15点时温度最高

    B)这天3点时温度最低

    C)这天最高温度与最低温度的差是13

    D)这天21点温度是32

    分析:思路:(1)该题的数量关系完全在一个平面直角坐标系中,横坐标表示时间,纵坐标表示温度,反映的是温度随时间变化的情况。(2)进行数学建模,将实际问题转化为函数问题。

    :A项正确,15点时温度约为37B项正确,3点时温度为22错误,因最高温度37与最低温度22的差是15。而不是13故选C

    2.有一座只允许单向通过的铁索桥,通常情况下每分钟可以通过9人,小刚上学到索桥,发现农民赶挑东西多而拥挤,每分钟只能通过3人,此时小刚前面已有36人等待通过(按先到先过桥,小刚过桥时间忽略不计)通过索桥后,还需7分钟到达学校。

    1)这时,若小刚绕道而行,要15分钟到达学校,从节省时间着想,小刚是选择绕道,还是选择通过铁索桥去学校?

    (2)若在有人疏通下,几分钟后秩序恢复正常(疏通时间,每分钟仍有3人通过索桥),结果小刚比在拥挤的情况下提前6分钟通过索桥,问疏通秩序的时间是多少?

    分析思路:①第(1)问题的关键是计算选择通过拥挤索桥去学校的时间,与绕道去学校的时间大小比较;第(2)问的关键是找出等量关系,此等量关系即选择通过拥挤铁索桥的时间减去疏通秩序的时间,再减去通常情况的时间等于6。②进行数学化设计,第(1)问是大小比较,第(2)问是议程求解问题,且隐含“a=bc 等数量关系。

    解:(1小刚应选择绕道去学校。(2)设疏通秩序的时间为t,,解得t3

    答:疏通秩序的时间是3分钟。

    通过以上可以发现,解应用题是集解题思路、解题过程、解题方法于一体,融理论与实践为一体,体现了分析、总结、提高积极思维活动的实质。所以,我们在教学过程中应当高度重视培养训练学生的解题思路,摸索各种求证的方法,以提高解题的能力。

    如果我们平时不训练解题的思路,学生学生临场就不能适应高考题常新,变化多端的特点。但只要平常训练有数,学生临场有章可循,思路畅通,就能集智生计,破解求分。纵观近几年的高考题,对不等式内容的考查约占20%左右,从题型上看,选择填空主要考查不等式的性质,比较大小和解简单不等式等;解答题主要参数量的不等式解法、范围和最值型综合题,关联不等式的实际应用题都是高考必考内容之一。这些都必须在理清思路,掌握不等式常用的几种证明方法的基础上才能求解。典型范例如下:

    已知︱a<1,b<1, 求证:︱<1.

    讲解:本题是一道课本题目,其基本基础的解法思路是利用恒等式(a b2(1 ab)2=(1a2)(1b2)

    这里提供几种有趣的证法。

    证法1:︱=<1.

    证法2:构造不等式当︱b<1时,解关于的不等式︱︱<1︱<︱1b2(1-)>0.

    b<11b2>0,∴1->0,即︱︱<1。令a,代入式①知原不等式成立。

    证法3:解不等式法

    ,则由合分比定理得

    a<1,︱b<1 ∴1a>0, 1b>0, ∴<0,解出-1<t<1,即︱<1

    说明由<1,可得此例的三元推广:已知︱a<1,︱b<1,c<1求证︱︱<1。

    又如:已知a,b,c,且两两不等.求证:

    讲解:本题也是一道课本题,其证明思路是作差比较法或应用三元均值不等式。

    证法1

    =(a3 b3-a2b-ab2) (b3 c3-b2-bc2) (c3 a3-c2a-ca2)=>0

    ∴原不等式成立。

    证法2:a,b,c,且两两不等∵=aab aac bbc bba cca ccb

    <=

    ∴原不等式成立。

    说明对此题反复应用二元均值不等式成立得三元均值不等式,事实上

    a2b b2c c2ab=6ab.

    须知利用不等式知识解决数学中实际问题有着十分重要的作用,列不等关系式是解答范围问题的前提,构造函数关系,活用二、三元均值不等式是解答极值问题的主要工具。涉及不等式的应用问题是多种多样的,诸如汽车的最大限速,容器的最大容积,用枓最省、购物方式、人员分组、经营的效益等等。只要理清思路,把握求证的方法就能迎刃而解。

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