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  • 北京高考选择压轴题的优美解法与再思考
  • 作者: 来源: 时间:2009-8-10 15:42:52 阅读次 【
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                徐大土 ( 浙江省象山县宁波滨海学校 )    

                王真祥  (浙江省桐乡市第一中学)       

     

    今年北京是新旧课程过渡期大纲卷的最后一年高考,虽然试卷整体平稳、和谐,但不乏创新之举,其中理科第8题就是其中一例,本文采摘到两种优美解法,在此与同仁交流。

    一、试题的优美解

    题目(09北京理科第8题)高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。在直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上,若存在过高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。的直线交抛物线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。 于高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。两点,且高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,则称点高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。为“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”,那么下列结论中正确的是(     )

           A.直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的所有点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”

           B.直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上仅有有限个点是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”

           C.直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的所有点都不是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”

           D.直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上有无穷多个点(点不是所有的点)是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”

    解法1(代数观点):由题设,由及P,A,B三点共线知A为PB的中点,故,消去得:

    (*),

    恒成立,

    对任意的恒有,(*)式恒有解,故直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的所有点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”。

    解法2(运动观点):当点P固定时,随着点B的运动,的变化范围是。当=0时,直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。与抛物线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。相切,此时A,B两点重合,所以总存在这样的点B,使得高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。。所以直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上每一点P都能够找到点B,使得高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。,即直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的所有点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”。

    二、解后的再思考

    1、代数观点分析

    ,则由及P,A,B三点共线知A为PB的中点,,消去得:

    (*),

    时,对任意的恒有,(*)式恒有解,故直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上所有的点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”;

          时,存在无数个使得,即当时,,此时(*)式有解,故直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上有无穷多个点(点不是所有的点)是 “高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”。

    2、运动观点分析

             从前面的运动变化的观点很容易联想到,当已知直线与抛物线相离或相切时,直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上的所有点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”;当已知直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。与抛物线相交时,易得直线在抛物线内部上的点都不是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”,而直线在抛物线外部上的点都是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”,也即直线高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。上有无穷多个点(点不是所有的点)是“高考资源网( www.ks5u.com),中国最大的高考网站,您身边的高考专家。点”。

    三、试题与解法点评

             本题是一道考查学生自学、想象能力及逻辑推理能力为核心的创新型试题,题意清晰,命题者努力减少试题阅读量,力求增加问题思考量,充分体现高考着重考查学生数学能力为目标的命题宗旨。并且试题引进新的数学概念,考查学生自我获取知识的能力,为是否具有进一步学习数学起到筛选与把关的作用。让那些具有较高数学思维品质的学生,依托运动变化的观点,通过运动与连续的思维想象,把点的运动过程看成一个量的连续变化的过程,很容易快捷得到正确答案,也就是本题优美解法2的解题思想。但试题也不拒绝那些循规蹈矩的优秀学生,在正确理解其意义的基础上,凭借扎实的运算功底,通用代数手段,获得正确答案。所以本题是一道集多种能力于一身的优秀数学试题。

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