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  • 高中数学研究性课题:漂洗中的优化用水问题
  • 作者: 来源: 时间:2009-9-4 12:00:16 阅读次 【
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    孔德宏 ( 昆明市第一中学 ) 

                                                     

                                                   一、问题的提出

    洗衣服是人们日常生活中的一件极普通但又不可或缺的事。对于一件用洗衣粉已搓洗好而即将进入漂洗阶段的衣服,如果用定量的清水A(克)来漂洗它,问对清水A分配使用的不同,对最终漂洗出来的衣服的干净程度有影响吗(假设用手洗且不考虑其它因素)?如果有,哪是怎样的一种情形?怎样分配用水漂洗出来的衣服最干净?

                                                      二、研究目标

    1、  使学生认识到昆明严重缺水的现实,从而激发学生树立起从自己身边的小事做起节约用水、优化用水的意识,进而达到保护环境,保卫自己家园的目的。

    2、  这个日常生活中不起眼的“小”问题的解决,需要学生充分地发挥想象力来创造、设计各种解决方案,并通过亲自动手、操作和实验等,从而使问题得到合理的解答。

    3、  通过学生对课题的深入探索和最后的汇报交流,期望展示人们进行科学研究的“真实”面目,同时使学生体验做数学、运用数学的乐趣和价值,并在这个过程中培养学生的协作精神。

    4、  通过各种解决方法、多种学科知识在汇报交流中的碰撞,促使学生用理性的、批判的眼光看待事物,同时又能欣赏别人、欣赏别人的观点和方法。

    5、  进一步培养学科间的综合运用能力及运用现代信息技术的能力,同时巩固高二上学期(旧教材)刚刚学过的数学知识:均值不等式、数列、数学归纳法、极限等。期望学生体验到我们所学习的数学知识并不是虚幻的、也不是枯燥乏味的;体验到创新并不是一件遥不可及、高不可攀的事,而是就在我们身边,需要我们用心地去实践、去观察、去思考!

    三、研究活动准备

    1、教师提前二周布置课题。学生自由组合,分成若干研究小组。要求学生开动脑筋,尽可能地创造方法来解决问题。同时教师要深入到每一个小组,了解他们的设计方案及实施情况,同时根据各个小组的特征及进展情况给予有关的一些启示和指导。

    2、选出一男一女两名主持人。主持人在充分了解各组研究进展的基础上,由主持人有机地把他们的研究成果组织成一堂生动活泼、积极参与、耳目一新、富有启迪的研究成果汇报交流课。

    4、研究中可能要用到水槽、毛巾、醋、PH试纸、TI图形计算器、PH探头、天平等器材。汇报交流时要在多媒体教室里完成(需要用到实物投影仪、课件)。

        四、研究成果汇报交流

    一)、讨论昆明是否缺水?

    主持人甲(男)乙(女)齐声:同学们,下午好!(大屏幕上出现花团锦簇、四季如春的昆明的典型照片序列)。

    乙:今天活动课的主题与我们日常生活中的重要物质——水息息相关。在进入主题之前我想问大家一个问题:我们所生活的这个花团锦簇、四季如春的城市——昆明,缺水吗?(大屏幕上播放动画:蓝色背景,一滴水从上方徐徐滴落下来,溅起一圈圈水波。一直循环到本环节结束。)学生积极回答,主持人见机采访……。最后乙问甲:那你认为呢?

    甲:我当然认为不缺了!

    乙:为什么?

    甲:享有高原明珠美誉的滇池就在我们身边,并且它还是我国八大淡水湖之一,昆明怎么可能缺水呢?再说我们云南省又是全国水力资源最丰富的省区之一,我调查过:昆明的城市用水价格是0.99元/米3,而在华北有的地区,它们的水价实行浮动制,水价最高时曾是昆明水价的40倍以上。这难道不是说明昆明根本就不缺水吗?

    乙:0.99元/米3的水价并不能说明昆明不缺水,要知道在国际上对缺水国家的标准是:如果每人每年淡水供应量在10003以下,那就属于水资源严重缺乏国家。而昆明人均年淡水占有量仅3023。(屏幕上动态出现相关数据)

    甲:如此说来,昆明不仅缺水,而且是一个非常非常缺水的地区。

    乙:我们之所以没有感觉到昆明缺水,那是因为(请看大屏幕:展示昆明市地图,并动态出现四条河流),1993年政府从官渡区的宝象河、西山区的沙朗河、晋宁县的柴河、大河引水入昆工程的胜利竣工,解决了城区近百万人口的城市用水问题。更为重要的是:从1999年启动的,现在仍在进行的规模宏大的掌鸠河引水济昆工程,将保证在2030年前昆明的城市用水,我想正是基于此,我们才没有感受到昆明缺水的危机。

    甲:看来你说得还真有道理,从今以后我们更应该注意节约用水了。           

    乙:那是当然了!       (以下由于篇幅所限,只给出主要过程)

    二)、用思辨的方法讨论漂洗中的优化用水问题

    1.  回顾课题。

    漂洗中的用水优化问题:洗衣服时,衣服用肥皂或洗衣粉搓洗过后,衣服上总含有污渍需要用清水进行漂洗。现用固定量的清水A(克)来漂洗一件衣服2次,问每次各用多少清水,漂洗出来的衣服最干净?漂洗3次呢?……。

    2.就漂洗2次如何分配用水展开思辨性讨论:

    观点1:分配用水时先少后多比较好:因为第一次少用些清水,这样第一次漂洗出来的污水的浓度较高,也就是说用较少的清水漂洗掉了较多的污物。第二次再用剩下的较多的清水来漂洗一件污渍已经不怎么多的衣服,这样漂洗出的衣服当然最干净。

    观点2:物质世界充满了对称美、和谐美,既然同学认为先少后多可以将衣服漂洗得最干净,那么对称的,我有充分的理由可以认为先多后少一样地可以将衣服漂洗得最干净。首先我们用较多的水带走大量的污物,然后再用剩下的水来漂洗已经不怎么脏的衣服,这样做我感觉漂洗出来的衣服最为干净。

    观点3:我不同意以上两位同学的看法,我认为平均分配用水可以把衣服漂洗得最干净,这是我的直觉。因为这段时间以来,在数学中我们经常在求不等式的最值,根据平均值不等式的性质,通常当那些量分别相等时取得最值。例如长方形的周长一定时,当且仅当边长相等时面积最大(正方形)。

    观点4、我认为无论怎样分配用水漂洗出来的衣服都是同样的干净。在实际生活中,几乎没有人会考虑这个问题。这里实际上隐藏着这样的一种观点,即:因为用水量相同,所以无论是第一次多用还是第二次多用,漂洗出来的衣服都应该是一样的干净。

    三)、实验法(1、目测法。2PH试纸测试法)

    方法是用醋代替污物,用新买的毛巾代替衣服,这里有三块相同的新毛巾。我们首先把三块毛巾浸泡在醋中一定的时间,然后稍稍拧一下,使得三块毛巾的质量相同(用天平称),也即三块毛巾所含污物相同。接下来三位同学分别用三种不同的分配用水的方式进行漂洗:1、先少后多(第一次漂洗用A/3的清水,第二次用2A/3的清水)。2、先多后少(第一次漂洗用2A/3的清水,第二次用A/3的清水)。3、一样多(第一次漂洗和第二次漂洗的用水量相同,即各为A/2)。

    漂洗完成后,首先用目测的方法观察第二次漂洗完成后究竟是哪一个水槽中的水最为干净(理论依据:水槽中的水的干净程度与毛巾的干净程度是相同的,并且醋是有颜色的)。第二种方法是使用PH试纸来分别检测第二次漂洗后的三个水槽中的水的PH值(理论依据:由于醋是酸性物质,故我们可以用PH试纸来检测酸的浓度,如果PH值越大,则酸性越小,即毛巾漂洗得越干净)。这样就可以解决上述同学的争端了。

    四)、实验法(3、图形计算器 PH探头法)

    实验过程同刚才三位同学的实验过程基本一致。不同的是我们测量第二次漂洗后的三个水槽中的水的PH值时所使用的设备是掌上实验室(图形计算器、CBLPH探头)。由于可以直接测量出PH值,因此得出的结论也会更加精确可靠。经测量知:平均分配用水漂洗出的毛巾的PH值最大,即漂洗得最干净。

    五)、数学建模法

    PH探头得出的结论虽然比用PH试纸更加准确,但他们仅仅做了三组实验,并不能得到一般性结论。因此打算用数学建模的方法来得出更一般的结论。为了把该实际问题抽象成数学问题,我们首先考虑最简单的情形:

    问题1:漂洗1次,怎样分配用水漂洗得最干净?

    A克清水来漂洗这块含醋的毛巾,如果只漂洗一次,问用多少清水漂洗得最干净?

    学生踊跃回答:肯定是把全部水用掉漂洗得最干净。这么简单的问题还值得问?……。

    生:这么快回答是否过于轻率?要知道在刚才的思辨性回答中,很多同学都直观地支持了先少后多漂洗得最干净。但从实验结果来看却是平均分配用水漂洗得最干净。我们想从数学的角度来论证这个结果,以有利于漂洗2次、3次…n次时结论的得出。  

     生:为把这个最简单的实际问题抽象成一个数学问题,我们做出如下假设(边操作演示边讲解):

    1)      设漂洗时的用水量为x1(),显然0x1A,并且用水量x1应该以能够浸透毛巾为准(总不能用三滴清水去漂洗一件毛巾吧?)。

    2)      漂洗之前毛巾上的初始污物质量为y0(),漂洗之后毛巾上残留的污物质量为y1()

    3)      漂洗时污物总能均匀地溶解在水里,不考虑水温、力气大小等因素对漂洗的影响。

    4)      漂洗后,总要把毛巾尽可能拧,但无论怎么拧,毛巾上总有残留的清水b克。 

    这样问题就变为:当x1为多少时,y1最小?

    由假设知,第一次漂洗前,毛巾上有污物y0克,残留的清水b克。第一次漂洗时加入清水x1克,此时y0克污物均匀地溶解在x1b克清水里,取出毛巾拧“干”后,毛巾上残留的污物量y1均匀地溶解在毛巾上残留的清水b克里。由于毛巾拧干前后污物的浓度相等,故拧干后毛巾上残留的污物量y1与毛巾上残留的清水量b之比,等于拧干前毛巾上残留的污物量y0与清水量x1b之比,即,也即当且仅当x1最大时,即x1A,y1最小。这样我们就用数学的方法得出:

    结论1:若毛巾只漂洗一次,则使用全部清水A,毛巾漂洗得最干净。 

    问题2:漂洗2次,怎样分配用水漂洗得最干净? 

    如果漂洗两次,那么每次各用多少清水漂洗出的毛巾最干净?同只漂洗一次的情形类似,我们做出以下4条假设(只需在上述4条假设的基础上作适当的修改即可):

    1、  把清水A分二次进行漂洗(当然每次的用水量应该以能够浸透毛巾为准),假设每次的用水量分别为x1x2(),显然x1 x2A

    2、  第一次漂洗之前,毛巾上的初始污物质量为y0()

    在第一次漂洗后,毛巾上残留的污物质量为y1(克)。

    在第二次漂洗后,毛巾上残留的污物质量为y2(克)。

               3、第4条假设与只漂洗一次的情形完全相同。

          这样问题就变为:当x1x2分别为多少时,y2最小?

    第一次漂洗,与问题一相同,有如下结论:,即

    同理,在第二次漂洗拧干前,毛巾上残留的污物量y1与清水量x2b之比,等于在拧干之后毛巾上残留的污物量y2与毛巾上残留的清水量b之比,即,也即

    y0b为常数。欲求y2的最小值,由均值不等式易知: 

                         当且仅当  x1= x2时等号成立。

    结论2:漂洗毛巾两次,每次各用一半的水,漂洗出的毛巾含污物最少,也即毛巾最干净。

    问题3:漂洗3次、……、n次,怎样分配用水漂洗得最干净?

    再用类似的方法具体推出漂洗3次时的结论:

    ,当且仅当x1= x2 =x3时等号成立。

    在漂洗1次、2次、3次的基础上,通过观察、类比、猜想出漂洗n次时的命题:

    ,当且仅当x1= x2=…=xn时等号成立。

    可以运用刚刚学过的数学归纳法和均值不等式来证明这个命题(略),最后得出漂洗n次时的结论:                  

    结论3:当漂洗次数n确定时,把清水A均匀地分成n份使用,每份为A/n克(每次的用水量A/n应该以能够浸透毛巾为准),毛巾漂洗得最干净。此时毛巾上残留的污物量

    问题4:污渍函数的单调性

    观察这个污渍函数(数列):,污渍量yn是漂洗次数n的函数,其中y0Ab是常数。

         取不同的几组值(y0Ab)用图形计算器TI92 Plus作出其图象,容易看出污物量yn是漂洗次数n的单调递减函数(数列)。实际上可用均值不等式加以证明(略):

    结论4:在每次用水量能浸透毛巾的前提下,把清水A分成的份数越多,即漂洗的次数n越大,则毛巾上的污物量yn越小,即毛巾越干净。

    问题5:污渍能完全漂洗掉吗?

    大家从图象上容易看出:污物量yn随漂洗次数n的不断增大似乎逐渐趋近于0。那么它的极限值到底会不会是0呢?换句话说,假设清水A为一个很大的有限正数,例如100吨清水,能否把一块毛巾漂洗得一点污物都没有?实际上这是我们刚刚学过的极限问题,用图形计算器TI-92 Plus计算一下yn的极限,看看能发现什么?

      Aby0是正常数。

    结论5:无论对清水A(有限正数)进行怎样的分配使用,漂洗后毛巾上残留的污物量始终是正数(尽管很小)

    6 :学生总结出漂洗中优化用水的程序:

    ①首先确定漂洗的次数n:设A0为漂洗一次毛巾的最小用水量(以能浸透毛巾为原则),[ ]为取整数,则

    ②确定每次的用水量:由于漂洗的次数n已由第一步确定,把A克水平均分成n份使用漂洗得最干净,故每次的用水量为A?/SPAN>克。

    六)、随机采访:

          调查法:有人认为应该将数学建模得出的结论和方法作一些适当的修正,因为上述讨论只是单纯地从怎样分配用水的角度来展开讨论,并没有太大的实用性。而我们在现实生活中,不可能太多次漂洗一件衣服,因为这样会浪费许多时间和精力,而且衣服也有一定的漂洗承受次数和限度。那么到底漂洗几次比较合理呢?显然,如果只漂洗一次的话,所用的时间和费用最少,但衣服远未达到漂洗干净的目的;如果漂洗次数太多的话,衣服虽然漂洗得干净了,但综合考虑下来又不太合算。为此我们调查了20名同学的家长,和20名教师。根据他们的回答:有12.5%的人通常漂两次,有62.5%的人通常漂三次,25%的人通常漂4次。综上所述,我认为漂洗3次是比较合适的,此时衣服漂洗得也比较干净了,而且又经济实惠。

          声音:“活动课我参加过不少,但数学活动课参加的却寥寥无几。以前我以为数学就是计算和证明,考试是去做一些难得要命的题。通过这次研究活动,使我重新认识了数学”。“认识事物不能仅停留在思辨的层次上,实践才能出真知”。“原以为数学在日常生活中的应用就是买买菜、算算帐,学数学的目的也就仅仅是为了考试,万万没想到她与现实生活是如此的密切相关,可惜我们从来就没有运用所学过的知识如此深刻地去思考、去探究”。“在教师的帮助下,我们小组通过无数次地尝试和努力,终于用数学建模的方法解决了这一难题,真可谓来之不易。它使我受益匪浅,使我对数学更加充满激情,也增强了学好数学的信心”。“在未来的学习生活中,我将更加注重学科间的综合、注重实际应用,相信这不仅会对高考有利, 而且对未来的求学之路起到更大的作用。”

    七)、教师小结

    1、  同学们在探索过程中,用到了理论研究的方法和实验研究的方法,这两种方法正是科学家们探索世界的两种最基本的方法。这两种方法犹如我们的左腿和右腿 ,轻视、偏颇任何一种方法都是有害的、都是错误的。

    2、  在优化用水问题的解决过程当中,大家得出了若干有价值的结论,其中有些结论的得出或多或少与我们的直觉有些相悖,然而它们却是有理有据的、是令人信服的 ,而这一点正是数学的力量所在,科学的力量所在。

    3、  大家在活动过程中,用到了我们高二本学期刚刚学过的数学知识:均值不等式、数列、数学归纳法、极限等。这说明我们所学习的数学知识并不是孤立的、也并不是枯燥乏味的,相反它们是有机的、丰富的和充满生命力的。同时这还说明了数学的创新并不是一件遥不可及的事,而是就在我们身边,就在我们司空见惯的地方,需要我们用心地去实践、去观察、去思考。

                                                                        参考文献:                 

                                                                 1.走进科学皇后——数学趣谈。北京:中国少年儿童出版社,1997

     

          漂洗中优化用水问题的设计说明                   

           漂洗衣服是日常生活中很普通的一件小事,那么在这件小事中是否存在有价值的问题值得研究呢?

           仔细琢磨漂洗衣服的过程,我们认为的确存在问题值得研究:例如用一桶清水来漂洗一件衣服,把这桶水全部一次用来漂洗和把这桶水分两次用来漂洗,哪种情况漂洗出的衣服会更干净呢?

           通常认为:反正这桶水都要用完,因此把这桶水分一次漂洗或者分两次甚至分n次漂洗,它们的结果都应该是一样的,即衣服都是一样的干净。如果答案真是这样的话,这个问题也就得以解决了。

           然而却有人并不赞同,他们认为:根据经验,分两次漂洗时,如果第一次少用些水,则漂洗出来的污水浓度较高,也就是说用较少的清水带走了较多得污渍。接下来再用剩下的较多的清水来漂洗一件已经不那么脏的衣服,这样漂洗出来的衣服感觉上应该最干净。

           截然不同的观点,但似乎却又都有道理,那么究竟谁对谁错呢?这样就自然引出了解决这个问题的第一种方法:思辨法。

           值得注意的是:在这种方法中,还有人认为先多后少漂洗得最干净,甚至还有人认为平均分配用水漂洗得最干净。观点如此针锋相对,那该怎么办呢?该怎样创造方法来解决呢?

           于是有人提出用有颜色的物质来代替污物,这样就可以通过观察最后漂洗剩下的污水颜色的深浅来判断了,颜色最浅的就是最干净的。这就是第二种方法:实验法里的目测法。

           然而在实验中,由于污水颜色深浅不容易区分。于是有人提出了用醋代替污物,最后用PH试纸来测量溶液的PH值,这样准确性比较高。这就是实验法里的PH试纸法。但在对照比色卡时,学生发现试纸的颜色都很接近,也不是很容易区分,于是又有人提出用掌上实验室中的PH探头来测量溶液的PH值,由于它测量出来的精度非常高。这样问题就得到了较为满意的解答。

           然而一波未平一波又起。如果漂洗衣服的次数增多,例如漂洗10次,100次,试验法的局限性就充分暴露出来了:这是一件无止尽的事,但我们却又不可能一次一次地实验下去。此时教师就要引导学生用数学建模的方法来解决问题。

           在数学建模的过程中,分6个小问题逐层推进,最终使问题得以解决,其间运用到高二学生刚刚学过的平均值定理、数学归纳法、极限、图形计算器等数学知识和数学工具。

           最后,有同学用调查的方法得出了合理漂洗的次数,从而最终较为满意地解决了漂洗中的优化用水问题。

           有教师可能会疑惑:那么多内容怎么可能在一节课完成?需要指出的是:课题的完成花了大约几周的时间,其间学生经历了艰苦的探索,同时得到了教师的悉心指导,这堂课只是最后成果的展示和交流。

           特别要指出的是:整个设计方案并不是在布置课题时,我就成竹在胸的,实际上,这个方案50%的内容是我在与同学们一道进行研究的过程逐步形成的。因此在这里我要特别感谢我的学生。

     

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