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  • 极坐标系中曲线的旋转伸缩技巧研究
  • 作者: 来源: 时间:2009-5-22 18:04:22 阅读次 【
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    蔡正伟 (江苏省靖江高级中学

     

        新课标中要求选修4-4的学生掌握极坐标的基本概念,事实上极坐标作为解决数学问题的一个工具,在曲线旋转问题研究上有它独有的优势,本文试图从这两个方面对极坐标中曲线的旋转伸缩变换进行研究。

    中学数学中有关曲线旋转的问题如果在直角坐标系中研究,将会有较大的计算量,且不易掌握,本人根据以前在直角坐标系中的平移伸缩的有关规律在极坐标中总结出一个简单易用的结论供大家参考。

    极坐标中曲线旋转和伸缩可以根据以下结论处理:所有曲线的旋转和伸缩变换都是解析式中的在变,且变化的规律与习惯相反。其中所谓的“习惯”就是比如说极径变为原来的2倍,变为;极角逆时针变大,顺时针变小。在极坐标系中曲线伸缩变换只要按照与这个“习惯”相反的规律处理:即曲线上所有点的极径变为原来的A倍,,则伸缩变换后的曲线方程变为,可以简单的理解为;若曲线逆时针旋转,则旋转后的曲线的方程为,可以简单的理解为。这个规律在具体解题时比较实用,下面举几例说明,供大家参考。

    一、伸缩变换

    1.从极点O引定圆的弦OP,延长OPQ,使,求点Q的轨迹方程.

    解析:按照传统的思路,本题可以用相关点法解。

    设点QP,则 ,所以,则有,所以

    仔细分析题目,本题的实质就是定圆上的点的极径变成原来的倍,这样按照我们给出的规律可以快速找到答案。

    解:由题意,即变为原来的倍,则,在所求曲线为,化简为

    二、旋转

    2.极坐标系中,直线和直线的位置关系为      

    A.平行      B.垂直     C.相交但不垂直    D.不能确定

    解析:本题研究两条直线位置关系,通常情况下可以把这两条直线全部转化成直角坐标方程,然后用它们斜率或方向向量来判断。事实上用本文介绍的极坐标中的旋转理论可以快速的找到答案。如图为一条与极轴成的直线,可以看成由一条与极轴垂直的直线逆时针旋转所得,从而可以得到两条直线互相垂直,故选B

     

    3.点A在直线上移动,等腰的顶角OPA按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程.

    解析一:本题若放在直角坐标系中处理,若设A5t),即引入变量t,利用两个等量关系:(1?/SPAN>PO?/SPAN>?/SPAN>PA?/SPAN>;(2?/SPAN>APO120?/SPAN>设法求出点P的轨迹方程.

    尝试着这样解:设A5t),Pxy

           

        整理得

       

            

        由①②,消去t,可得点P的轨迹方程(此时发现:消去t显得多么繁杂,甚至不可能.因此此法应放弃,该选择新的方法).

    解析二:若建立极坐标系,也许求点P的轨迹的极坐标方程更简明些.只需以O作为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线的极坐标方程为

    解:取O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线的极坐标方程为

        由题意,点A到点P的变换过程中相当于将极径变为原来的倍,且极角逆时针旋转了,这样只要把原来直线极坐标方程中的变成变为,即点P的极坐标方程为

    从以上三个例题可以看出在涉及到定点(极点)距离的伸缩变换和绕定点(极点)旋转问题的处理上,用本文总结的技巧是非常的准确快捷,关键要能挖掘题目中的变换,认清适用的前提。在变换的每一步只要抓住变的实质,可以轻松解决平面内的类似问题。另外,这个变换只适用极坐标平面内曲线的的变换,对于点的变换就是您的“习惯”,比如点的极径变为原来的A倍,且绕极点逆时针旋转后,变为点,这在具体解题中要注意区别。

     

    参考文章:《平移伸缩变换问题的技巧》,《中学数学教与学》2006年第7

     

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