登录 | 注册 | 忘记密码 | 设为首页 | 加入收藏凤凰教育网
关闭用户登录
  •  
  • 对《“高中数学课程标准”的框架设想》的思考
  • 作者: 李世杰 候万胜 吴卫国 来源: 时间:2009-9-3 9:05:16 阅读次 【
  •  

    引       言

    最近,《“高中数学课程标准”的框架设想》一文(下面简称为《设想》)在许多数学刊物中陆续刊出,我们反复拜读,大开眼界,收益匪浅。

    《设想》遵照“教育要面向现代化,面向世界,面向未来”的指示精神,根据我国长期来数学教育正反两方面的经验以及新世纪我国高中数学教育所面临的任务与挑战,对我国新的高中数学课程,提出了深入、细致、全面、切实的框架设想,令人振奋。我们相信,具有中国特色的高中数学课程,必将会顺利诞生。

    本文下面对《设想》提出几点思考意见,并着重对高中新“微积分”问题提出一些具体的想法、意见与建议,以抛砖引玉,请广大读者、专家指正!

    一、制订新的《高中数学课程标准》的十条基本理念对当前高中数学教学的启示

    教育的根本理念应该是培养学生的独立性人格,以创造为本位。《设想》根据国际比较,剖析我国数学教育的历史和现状,从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展等各个方面综合思考,提出了制订新的《高中数学课程标准》(下面简称《标准》)的十条基本理念,这对当前高中数学教师更新数学教育观念,以适应21世纪对数学教学的要求具有重要的导向作用。

    1.新的数学观   基本理念第8条中明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分”,《标准》要求“帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观”。这有助于改变多年来我们对数学的认识长期陷于的两个片面性:

    (1)数学的作用仅限于工具性,而忽视了其文化性和训练价值。现在数学的内容、思想方法和语言已广泛渗入自然科学和社会科学,成为现代文化的重要组成部分。一定的数学素养是形成良好的个性品质、形成科学世界观和方法论,即提高全民族文化素质的基础。因此,数学已不仅仅是一种有用的工具,而且是一种文化。正如美国《学校数学原则和标准》(2000年)中指出的:“数学是一种文化,数学是人类创造的文明成果,每一个公民应有欣赏和理解这一文明成果的能力”。数学文化的提法,将有助于打破把数学视为纯“理念”的思维训练,走出“象牙塔”,走向大众,使数学能为提高学生的素养,改善他们未来的生活质量服务。(2)认为数学的作用仅仅限于“训练人们的思维”。文[2]第一章第1节“数学的特点”中明确指出:“数学的特征:第一是它的抽象性,第二是精确性,……,最后是它的应用的的极端广泛性”。由数学学科的抽象、精确的特点,确定数学(特别是其中的几何)在训练人们的逻辑思维等方面具有其独特作用,但仅限于此认识是片面的,甚至是有害的。数学不仅在科技、生产、生活、自然科学、社会科学方面有广泛应用,而且蕴含着辩证唯物主义思想,并有着巨大的文化作用。因此,要改变枯燥乏味的数学概念教学,教师必须进行观念更新,即:承认数学的两重性,承认演绎推理和观察、归纳、类比是数学固有的,承认观察、比较、分析、综合、抽象和概括是学生应具有的逻辑思维能力;淡化概念,加强训练,把解题方法和技巧放在应有的位置。特别要把教科书中数学的“学术形态”还原为生动活泼的“教育形态”,还数学知识以发现时的本来面目。

    2.新的教师观   基本理念第2条中指出:“教师可以根据自身的条件进行选择,为学生提供选择的内容和发展的空间”。现代教学论认为,在教育过程中,教师扮演着多种角色,从多方面影响着学生的发展,教师不仅仅只是知识的传递者,他还是学生的榜样,集体的领导者,人际关系的艺术家,心理治疗工作者,学者和学习者,以及学生的朋友和知己。在教学过程中,教师是主导,学生是主体,教学活动是在师生双方的相互作用下共同完成的。学生的主体作用只有在教师主导作用之下才能得以发挥,而教师的主导作用必须是建立在学生的主体作用之上的。只有当师生之间互相作用,学生的能动性,自主性和创造性才能得以激发和培养,学生才能获得充分的发展。因此,在课堂教学中,教师与学生是合作伙伴的关系,教师是组织者,引导者,解惑者,教师与学生在人格上是平等的。因此,数学教学不仅要注重培养学生的数学素质,打好学生的数学基础,发展学生的思维能力,培养学生的数学意识和观念;还应该提倡以下关于教师作用的观念:(1)教师是数学课程实施中的决策者;(2)教师是数学教学过程的组织者、学生学习的指导者、学生主动建构知识的帮助者、促进者和评价者;(3)倡导教学民主,师生是平等关系,教师是学生学习中的朋友,教师要用自己的人格魅力感染学生。

    3.新的学生观   学生的创造力不是靠“教”出来的,而是靠环境的熏陶,唤起学生内在的自觉。基本理念第3条中提到,《标准》将设立“数学探究”、“数学建模”、“数学阅读”、“数学活动”等专题课程,这为营造宽松的、交流讨论式的、和谐民主的学习环境创造了条件。

    要培养学生具有可持续发展的人格。中学生正处于人格塑造和定型时期,社会文化中的价值取向、理想和信仰、道德情操、审美情趣等都会通过教师的角色表现折射出来,并通过他“映照”在学生的人格世界中。数学教师的言传身教,决定了其人格对学生人格的形成有“润物细无声”的功效。这就要求中学数学教师按社会的道德原则和规范去塑造自我,实现“超越自我”。

    提倡以下关于学生的观念:(1)每一个学生都可以学好数学;(2)不同的学生学习不同水平的数学;(3)允许学生以不同的速度学习数学;(4)学生可以用自己的方法学习数学.(5) 学生是学习的主动参与者,应成为数学知识的探究者和知识建构的主体,是知识的主人。

    4.新的教学观   数学课堂教学重点要解决的是两个问题:(1)数学是一种普遍适用的技术,要使学生掌握社会生活所必须的数学知识和技能;(2)数学是人们交流信息的有用工具,要使学生具备良好的数学素质. 《标准》将以模块化方式设计课程,让学生“人人学有用的数学,人人掌握必要的数学,不同的人学不同的数学”,充分体现了“大众数学”的思想和“以人为本”的思想,这为在课堂教学中以学生为本,以学生的发展为本,坚持面向全体学生,关注每一位学生的全面发展创造了相应的条件. 课程的开放性设计,也为学生提供了“提出问题、探索思考和实践应用”的空间。

    我们特别赞赏基本理念第4条中提出的“正确处理‘打好基础’与‘力求创新’的关系”,及“先打好基础再创新,会导致二者的割裂”的观点。这就要求数学教学要促进学生个性的发展,要应用创新思维和策略,激发学生创新的动机,让学生尽情展现自我优势,培养学生强烈的自信心和成功的意识,并创造条件让学生参与实践活动,以不断提高实践能力。我们认为,作为《课程标准》,可更明确地提出:要把学生的思维视为亟待被点燃的“火把”,在课堂教学的全过程,要自始至终保护学生的创新精神,及时总结学生的创新成果。要放低创新起点,多做辅垫,让不同层次的学生都有收获。如平均值不等式的教学,采用结构模块的方法引导学生创新,从填数开始:由于(□)2≥0,只要在“□”中填入任意数或式子,从简单到复杂,从具体到抽象,不论程度多差的学生,都能有所创造。教师要避免“再把学生看作贮存知识的容器,让学生在自己设计的思维圈子里不停地转”的现象产生。

    提倡以下关于教学的观念:(1)教学中要注意启发学生学习数学的兴趣;(2)要创设丰富多彩的情景;(3)为学生留有探索和思考的余地;(4)提倡合作交流的课堂气氛。(5)注重学生的学习过程和综合能力的培养,体现问题解决的思想。(6)体现创新教育的理念,发展学生的学习能力、主体性、个性、创造性和实践能力。

    5.新的知识观   基本理念第1条中指出:数学课程设置和实施应以“与时俱进”的眼光重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵。知识的发展,一方面表现为知识总量的急剧增加,更新速度的加快;另一方面从结构上又分化为可言传、可编码的显性知识和只可意会不可言传的隐性知识。哲人说过,“知识就是力量”。但单纯的、堆砌的知识并不是力量,反而是包袱,应该是“知识的应用”才是力量,数学教学追求的应是让学生“创造性应用”与“知识创新”(对学生来说更多的是数学的“再发现”)。基本理念第7条指出,《标准》将突出知识的来龙去脉,创设应用实践的空间,单独设立“数学建模”、“数学与社会”等专题课程,这有助于培养学生的应用意识。

    达尔文有句名言:“最有价值的知识是关于方法的知识”。在未来社会中,获取知识的能力比获取知识本身更重要,获取信息的方法比获取信息本身更关键。与此相应,数学教育的重点应该由传授现成知识转变为培养学生数学学习的能力、吸收处理信息的能力和创造力上。因此, 学习旧有的数学知识不再是学生学习的主要目的,应把主要精力用来学习“学习的方法”,教师教给学生的应该是方法库,工具库。只有让学生学会学习的方法,才有可能学会创新。

    6.新的教学模式   由于高中教育的普及,读高中的学生越来越多,学生数学基础的差异也会越来越大,这就要求数学教师要探索课堂教学的新模式, 符合素质教育的教学模式应是“教——学——创”三位一体的,由基础知识,数学素质,创新能力构成的三维立体模式。教师不仅要研究教法,更重要的是要研究学法。从学生学习的建构主义理论的角度去分析学生的特点,激发学生的学习兴趣,利用建构学习观,促进学生学法提高,使每个学生的学习都有所进步。

    教育观念转变,归纳起来可以称之为“一个中心,两个方面,三个转变”:“一个中心”,即以学生为中心。 “两个方面”,即学会学习,学会创造, 学习不应只是“学答”,而应“学问”,要让学生不只是学会,而且要会学。“三个转变”是指以教师为中心向以学生为中心转变,要“一切为了学生,为了一切学生,为了学生的一切”;以研究教法为中心向以研究学生为中心转变;以学习知识为中心向以创造为中心转变,新的人材标准应该是“培养具有动手实践能力和创新意识的人”。

    7.新的媒体观   基本理念第9条中指出:我们不仅应重视利用信息技术来“呈现”课程内容,更要作有机整合。《标准》要求普遍使用科学型计算机。这里有一个重要的观念转换:教学媒体要从原来的教学的辅助工具,变成学生学习的认知工具。

    8.新的能力观   基本理念第5条中提出“提高学生的数学思维能力”。从信息论观点看数学教学过程,可发现其实质在于一次又一次的思维联结。正如巴拿赫(Banach)所说的:“过去、现在和未来的联结,对于数学的发展是最基本的”。我们建议《标准》中“把数学思维联结作为数学的基本能力之一”,利用数学实验,改进数学思维联结的直观性,利用思维树图,改进数学思维联结的流畅性。

    9.新的形态观   基本理念第6条中指出:“应通过典型例子的分析,让学生理解数学概念、结论、方法、思想,追寻数学发展的历史足迹,把形式化数学的学术形态适当地转化为学生易于接受的教育形态”。著名数学教育家弗赖登塔尔曾说过:“没有一种数学的思想,以它被发现时的那个样子公开发表出来”。因此,在数学教学中反朴归真,寻找数学的本原,重现数学家当初发明创新时的思维过程,还高中数学教学以生动活泼的本来面目,是我们高中数学教师的重要任务。数学教学要从以技能为中心转到以问题为中心。

    10.新的评价观   不仅重结果,更要重过程,要把结果和过程结合起来进行评价。为了学生的终身可持续发展,课堂上倡导“开放式学习”,鼓励学生大胆质疑,尽量把思考的时间和表现的机会让给学生,鼓励师生间、学生间相互交流,体现以“学生的发展为本”的教育观念。评价学生的学习成绩,不能仅仅以考试成绩为唯一标准,还应结合小组活动的表现、平时作业等学习过程进行综合评价。

    二、对《设想》中“微积分”的思考!

    1. 21世纪中国的高中数学应有“简易微积分”,我们十分赞同!

    微积分是17世纪世界科学史上的重大发明。它是科学技术和生产实践中非常有用的数学工具,又是辩证法在数学方面的运用;从当前国际上高中课程的设置看,几乎所有国家都有“微积分”这一块内容;我国实施素质教育,强调培养学生的创新意识和实践能力,就要解决实际问题,很需要利用“微积分”这一强大数学工具。因此,将微积分列入我国高中数学课程,已到了刻不容缓的地步。微积分的引入,从客观上看也有利于扭转我国高中数学教学花费大量时间、精力对付高考,并随之出现的所谓“高分低能”现象(这与多年来高考排除微积分内容不无关系)。

    2.中学微积分的定位问题

    我们赞赏《设想》中的提法:“关键是定位问题。如果定位不当,大学不欢迎,中学用不上,就会两边不讨好。《设想》的定位是:用导数反映的变化率思想研究初等函数的性质”。从中体会到中学微积分不再引入积分学。中学微积分是为大学学习一元函数微积分作铺垫,也为中学毕业从事工作的高中生提供理解变化率思想并有助于加深理解函数的变化性态,为解决有关工作、生活中的数学问题提供新的数学方法、工具。因此,新的“中学微积分”不宜求全。另外,积分学中的“不定积分”是求导(指“导函数”)的逆运算,自然比求函数的导数要困难;而其中的“定积分”概念与“导数”概念既有相似之处,也有区别;“积分的应用”又是新的内容。因此,如果中学也要讲“积分学”,即使有关理论部分全删去,其篇幅也不少于微分学。因此,我们主张对全国绝大多数高中,不宜讲积分学。至于极少数名牌高中的少数数学尖子生,如需学习简易积分学,似可尝试(教材需重编),升入大学后,一元函数微积分允许免读(中学微积分中学不到的理论部分,通过自学解决),不知行吗?

    如果我们的想法(中学不讲积分)与《设想》一致,接着而来的问题:中学简易微积分的名称,称“微积分初步”,还是“简易微积分”,还是别的名称?我们主张用“简易微分学”较为确切。

    3.“简易微分学”作为高中选修还是必修?

    《设想》的“附录”,提供了一个重要信息:“所有国家的高中课程都有微积分”。德、法、英、俄等国都是必修课;日本、美国则是选修课。《设想》将“简易微积分”作为选修,而不是必修,我们认为,“选修”与“必修”这不仅仅是一字之差,而是直接牵涉到中学简易微分学教学的实际效果问题。中国的“高考”指挥棒实在厉害。近年来,尽管大学年年扩招,但仍远远不能满足考生需要,许多考生还是榜上无名,高考竞争激烈程度可想而知。这与美、日经济发达国家大不一样。据我们了解,美国高中生如想考上“哈佛”、“史坦福”、“耶鲁”等世界最有名大学,不亚于中国考生要考上“清华”、“北大”那样激烈竞争,但美国学生如果仅要求考上一般或较差公立大学,却是十分轻松、容易,谈不上有什么竞争,因为这些大学连大学新生都不一定招得足!

    在中国高中里,凡列入高考范围,老师与学生都不敢怠慢;选课内容不列入高考范围,在高考竞争十分激烈的情况下,自然教师不教,学生不学。这里提供一个很有说服力的生动例子:上海在90年代初,自编了《高中数学》(三年级第二学期),即“中学简易微积分”(薄薄一本共50页)并列入上海高考内容,那时的高中毕业班,教师认真教,学生认真学;但到了教育部门宣布1999年起不再将微积分列入上海高考范围(实质上这是倒退),从此后,据了解,凡参加高考的学生,再也不学微积分了,学校发给学生的“中学微积分”课本,根本就不再看一字,只让它在家里的书架上“睡大觉”。这给我们强烈的感受:新编的简易微分学要作为必修并列入高考范围。看来,其它选修内容,有些是否改为“必修”,确需慎重决策。

    三、简易微分学内容取舍、写法的设想

    1.微积分的史话是否要写?

    我们认为,用史话形式写微积分诞生发展简史,对学生进行历史唯物主义(时势造英雄)教育,并提高学生学习微积分的兴趣是有积极作用的,故主张写“史话”。但“史话”要写得简明扼要、通俗易懂、生动活泼,使高中生喜读;并要突出观点“科学的发生与发展,一开始是由生产所决定的”;同时肯定科学家牛顿、莱布尼兹等人在创立微积分中的伟大功绩,但似乎没有必要写牛顿、莱布尼兹个人简史;似乎也可带一下微积分的诞生并不一帆风顺,受到当时反动势力的攻击;如合适的话,也可点一下:中国古代就有微积分思想萌芽,但微积分不会在中国诞生(这由当时中国处于封建社会,生产力落后所决定)。

    2.极限  从一般极限概念讲起,还是在讲导数概念时带上?

    我们的想法:极限是微积分、级数等有力的(基本)工具,而且本身也有直接应用(如无穷递缩等比数列求和等),它的含义十分深刻,内含不少辩证法思想(如通过“有限”认识“无限”,“量变到质变”、“近似”到“精确”等);而且从1979年恢复高考以来,一直被列入高考范围,还常被用作高考压卷题(或高分题)。因此,我们认为,在讲函数概念前,还得化一些篇幅分别讲数列极限、函数极限及其一些性质、简单应用。这样处理,加深了对极限的理解,也为加深对导数、定积分、级数概念理解创造条件。

    极限概念采用描述性,不用“ε—N”、“ε—δ”的严格定义。

    这里顺便对某中学微积分课本,常用表格来考察函数极限的做法,提出商榷:⑴求如此简单函数的极限:等,是否有必要列出表格(各二个表格)?⑵能从表格上看出结果吗?⑶求简单函数的极限,仅要求

    高中生停留在“从表格‘直观’地考察函数无限变化的趋势”,合适吗?我们认为,任何表格中数据只能列出有限个,仅依靠表格(即使其中数据足够多)来理解函数值无限趋势,是缺乏说服力的,显得要求过低。另外,制作表格需要花大量的时间和精力(除非有现成的材料),一般来说,不可取。对这两个极限,可通过恒等变形直接求得。

    ===1-=1;

    === 2=4.

    这里需要指出的是,求后一极限,允许x≠2,故

    =;从=4的中间一步(= 2),

    当学生们熟练后,可删去。

    3.两个重要极限要不要?

    两个重要极限,由于在推导正弦函数、对数函数等的导数公式时分别要用到,而且它们在函数极限中也有直接应用,因此在大学微积分中两个重要极限是非讲不可。现在的问题是:中学简易微分学对它们是“取”还是“舍”?

    如果中学微分学要求对正弦函数、对数函数的导数经过推导而得,非取它们不行,只是将这两个极限的证明(显得繁难)改为列表想像而已;如果中学微分学对正弦函数、对数函数导数不予推导,考虑到这两个极限的重要性,在函数极限里有它们独特的作用,宜作保留并配上相应的例题。

    至于函数的连续性、无穷小(大)量内容,宜删去。

    4. 如何引入导数概念并揭示其辩证思想?

    导数概念是微积分中最重要、最基本且含意深刻的概念,所有大、中学微积分课本都是通过典型实例(1—3个)来引入,这是十分必要的。我们注意到两本颇有影响的中学微积分课本,都是仅通过求变速运动瞬时速度一例就立即引出导数定义,后讲“求曲线的切线斜率”作为导数的几何意义。这种处理方式似可商榷。我们主张同时采用两个实际意义不同的例子来引入,这能使学生通过对这两实例比较、分析,抽去其实际意义,抓住其共同的数学本质(增量之比的极限),从而更好地掌握导数概念,避免把“变速运动瞬时速度”与“导数”概念等同起来。有关引入导数概念的实例不少,除上述两例外,还有物体的热容量(热量对温度的变化率),电流强度(流过电量对时间的变化率),化学反应速度(浓度对时间的变化率)等等。对中学微分学采用哪两个实例?确需认真考虑。应考虑到学生的知识程度、理解能力,我们主张采用牛顿、莱布尼兹创立微积分时分别用过的两个经典实例“瞬时速度”和“切线斜率”。

    如何揭示导数概念蕴含的辩证法思想是需要深思的。讲导数概念是突出反映辩证法的极佳时机,如果能恰如其分、通俗 、生动地写出来,不仅有利于学生深刻理解导数概念的本质,而且有利于培养学生的辩证唯物主义世界观。因此,建议新的中学简易微分学课本不妨作一下尝试。下面提出我们粗糙的构思,仅供参考:

    上述的“瞬时速度”问题可归纳为:求变速运动在t=t0的瞬时速度(它是某个确定的数量),这是新问题。如果一开头只考虑它的精确值,那将寸步难行;但我们会求匀速运动在[t0,t]一段时间内的平均速度,这里的时间t看作是不断运动变化的量,从点t0出发变出去,又向着t0不断地变回来,就得到一连串的匀速运动的平均速度值,当t愈来愈接近t0时,所得到的平均速度就愈来愈接近变速运动在t=t0的瞬时速度;一旦时间t变回到t0的那个时刻,“平均速度”就真正转化为t0的瞬时速度。数学是通过“极限”这一工具来实现这一转化的。

    因此,变速运动在t=t0的瞬时速度是一串匀速运动的平均速度的近似过程与结果的统一。同样,曲线在一点的切线斜率是一串割线斜率的近似过程与结果的统一。

    导数概念就是从“瞬时速度”、“切线斜率”等问题概括出的数学模型:函数y=f(x) 的增量之比(当Δx→0时)的极限。它反映了事物之间相互联系、相互制约、运动变化、从量变到质变等辩证思想。

    5.微分概念是否要引入?又如何引入?

    分析我国现有的中学微积分课本,采用两种思路:(1)基本上采用大学微积分课本内容与写法:用线性主部来定义微分,并记作(规定)(或通过特殊函数y=x得出),于是有微分公式,…。(2)只字不提“微分”。

    作为新的中学微分学内容,是否要写又如何去写“微分”?非作出选择不可。我们的想法:对高中学生来说,尽管微分不如导数重要、应用广泛,但鉴于它在积分、微分方程等方面有独特作用,又从历史上“微积分”名称可看出它所处的地位。另外,我们准备引入的微分概念能避开传统定义的难点。因此,我们主张引入并采用这样办法:“为了使导数得到更广泛应用,我们把导数‘’改写为另一种形式‘’。其中dx称为变量x的微分,dy称为函数y的微分。从此,也可看作微分dy与微分dx之商,即导数也可称为“微商”。在求复合函数微分前,需点一下:“微分公式对x为中间变量时仍适用”(但不提“一阶微分形式不变性”)。

    这样处理微分有几个优点:(1)直截了当地揭示微分与导数的本质联系:,表明求导数与求微分(对同一可导函数),本质上是一回事;(2)避开了传统微分定义的难点、疑点,自然可删去“微分的几何意义”等内容。(3)中学阶段提出微分概念,既为大学作辅垫,也为以后不进一步学微积分的学生提供深入理解变化率思想的机会。

    6.复合函数、反函数求导法是否要引入,又如何引入?

    该问题也象对待“微分”一样,存在着“要”与“不要”的不同处理。鉴于复合函数及反函数求导较重要且无法被其它求导法所替代;又按我们办法处理显得十分简易。因此,我们主张都要它们。

    为了使学生不感到突然且能领会复合函数求导的重要性,一开头似可提出:(α≠0)如何求?等于cosαx吗?接着,考虑简单情况:“求(sin2x)由‘二倍角公式’及函数乘积的导数公式,得(sin2x)=2cos2x,猜测是按公式sinu=sinu(其中u=2x)得出;并猜测出更一般公式:

    若可导函数y=f(x)由y=f(u),u=(x)复合而成,有

    因导数就是微分之商,故有.

    这表明猜测正确,它就是复合函数求导公式.

    注意:(1)公式可推广到中间变量不止一个的情况;(2)当较熟练掌握复合函数求导后,可不必写出中间变量,用“心算”来完成。同理可得反函数求导公式

    (这里自然要求y=f(x), x=f -1 (y)都可导且≠0).

    说明:上述处理不同于大学微积分课本(作为定理并给出证明,均有一定难度),这里只是将它们作为公式使用,简易且不失科学性,条件自然也不必写全.

    7.高阶导数是否要提出?

    鉴于高阶导数十分简易且有广泛应用(如研究曲线的凸性,拐点等少不了它),故建议要它,但要求必须放低(仅限于求二阶导数). 二阶导数的力学意义只须点一下:变速运动的加速度a是速度函数v的(一阶)导数,是路程函数s的二阶导数a=.

    8.中学微分学的应用似可补充

    《设想》中指出:“高中阶段用导数求单调区间,求极值、证明不等式,可以体现它在中学里的价值”。我们十分赞同!今提出补充内容:

    (1)    运用微分学知识作函数图像

    学微分学之前,用描点法作图是十分必要的,不过它有缺陷:带有一定的盲目性;函数图像的整个轮廓不清楚;……。而运用微分学作出的函数图像,就能克服描点法作图的缺点.

    这里强调说明一下,学了微分学,用它来作简单函数的图像,对大学、高中学生来说,几乎不需费什么力气!但据我们了解,由于某些大、中学微积分课本没有这一块内容,以致学生学了微积分,仍不知道可用微分学知识来作图,遇到作函数图像仍用描点法,令人遗憾!

    中学用微分学知识作函数图像,举一、二个例子就行了。是否要指出曲线的渐近线、凸性?值得深思。

    (2)    用微分知识证明恒等式

    如:通过对恒等式(x-1)(xn xn-1 … x 1)=xn 1-1两边关于x求导,得到

    (x-1)[nxn-1 (n-1)xn-2 … 2x 1] (xn xn-1 … x 1)=(n 1)xn

    分别令x=2,3,得到恒等式(略)。

    又如:由恒等式sin3x=4sinxsin(x )sin(x )两边关于x求导得

    3cos3x=sin3x[cotx cot(x ) cot(x )]

    变形即得3cot3x= cotx cot(x ) cot(x ).

    -x代x,得3tan3x= tanx tan(x ) tan(x ).

    (3)    用微分知识研究函数性态,如解决与函数周期有关问题。

    例如:设gi(x)=aisin(ωix θi),这里aiωi ≠0(i=1,2),且|ω1|≠|ω2|,则当f(x)= g1(x) g2(x)为周期函数时,必有=有理数.

    在等式f(x T) =f(x),即

    g1(x T) g2(x T)= g1(x) g2(x)          (1)

    两边关于x求导两次得

    (-ω12)g1(x T) (-ω22) g2(x T)=(-ω12) g1(x) (-ω22) g2(x) (2)

    由于|ω1|≠|ω2|,联立(1)、(2)容易得到

    g1(x T)= g1(x), g2(x T)=g2(x)

    这说明函数g1(x)、 g2(x)有公共周期,故存在n、m∈N*,有

    T=,所以=(有理数)。

    参     考    文    献

    1  《高中数学课程标准》的框架设想,上海中学数学,2002年第2期.

    2   苏:亚历山大洛夫等著,数学——它的内容、方法和意义(第一卷), 科学普及出版社,1958年第1版.

    3   六年制重点中学高中数学课本《微积分初步》,人民教育出版社,1983年12月第1版.

    4  上海市高中数学课本(三年级第一、二学期),华东师大出版社,1997年第1版.

    5   张方盛,对中学微积分教学的意见与探讨,数学通讯,1982年第5 期.

    6          菲赫金哥尔茨著,微积分学教程(第一卷第一分册),人民教育出版社,1956      年版。

    7  张奠宙等,关于数学的学术形态和教育形态,数学教育学报,2002年第2期。

    (全文发表于《中学教研》(数学)2003年第3期P1—7)

  • 返回顶部】 【关闭】 【打印
关于我们 | 帮助中心 | 友情链接 | 人才招聘 | 联系我们
Copyright © 2009 fhedu.cn Corporation,All Rights Reserved
江苏凤凰数字传媒有限公司 版权所有
网站地址:南京市湖南路1号B座808室 经营许可证编号:苏B2-20100219
Mail:admin@fhedu.cn 最佳分辨率1024X768 苏ICP备10051783号-1
电话:025-83657840