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  • 江苏省普通高中数学课程标准教学要求的说明——选修系列
  • 作者: 来源: 时间:2009-9-3 9:06:08 阅读次 【
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    为使教师能准确把握《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)有效地开展教学活动实现《标准》提出的目标要求科学地评价学生的数学学习水平避免出现各种偏差减轻学生学习负担确保高中数学课程改革顺利进行根据我省高中数学教学实际特制定《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》(以下简称《要求》)。

    《要求》分模块(或专题)编写。每个模块(或专题)设有“课程目标”、“学习要求”、“教学建议”栏目。“课程目标”主要是对模块(或专题)的知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面的总要求;“学习要求”主要是对学习内容的具体要求;“教学建议”主要体现如何实现课程目标、教学中的注意点、有关内容范围与水平的限制等方面的参考建议。

    《要求》中使用了一些行为动词以界定相关内容的教学与学习要求。

    目标领域

     

    行为动词

    知识与技能

    了解/识别

    了解识别

    理解/独立操作

    刻画理解归纳抽象比较判定会求会画运用

    掌握/应用/迁移

    掌握证明应用灵活运用解决问题

    过程与方法

    经历/模仿

    经历观察体验、操作模仿尝试

    发现/探索

    分析发现研究探索解决

    情感、态度与价值观

    反应/认同

    感受认识体会

    领悟/内化

    领悟、获得形成内化、发展

    高中数学课程的总目标是:使学生在九年义务教育数学课程的基础上进一步提高作为未来公民所必要的数学素养以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。

    1.获得必要的数学基础知识和基本技能理解基本的数学概念、数学结论的本质了解概念、结论等产生的背景、应用体会其中所蕴涵的数学思想和方法以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。

    2提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。

    3.提高数学地提出、分析和解决问题(包括简单的实际问题)的能力数学表达和交流的能力发展独立获取数学知识的能力。

    4.发展数学应用意识和创新意识力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。

    5.提高学习数学的兴趣树立学好数学的信心形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

    6.具有一定的数学视野逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值形成批判性的思维习惯崇尚数学的理性精神体会数学的美学意义从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。


        


    选 修 系 列 1

    数学11

    【课程目标】

    本模块的内容包括:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。

    通过常用逻辑用语的教学,使学生学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容;体会逻辑用语在表述和论证中的作用形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力从而能够更好地进行交流。

    通过圆锥曲线与方程的教学使学生了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质;感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用进一步体会解析几何的基本思想;了解平面解析几何产生和发展的过程及其对数学发展和社会发展的推动作用;培养学生的运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点。

    通过导数及其应用的教学使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程理解导数的含义体会导数的思想及其内涵;掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质及其在实际中的作用;感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用以及变量数学的思想方法提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力;体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值培养学生的创新意识和创新精神。

    【学习要求】

    1.常见逻辑用语

    1)命题及其关系

    了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义会分析四种命题的相互关系

    理解必要条件、充分条件与充要条件的意义;会判断必要条件、充分条件与充要条件

    2)简单的逻辑联结词

    了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(对真值表不作要求

    3)全称量词与存在量词

    理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容

    理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定

    2.圆锥曲线与方程

    1)圆锥曲线

    了解圆锥曲线的实际背景;经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程。

    掌握椭圆的定义和几何图形;了解双曲线、抛物线的定义和几何图形

    2)椭圆

    掌握椭圆的标准方程求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题;了解运用曲线的方程研究曲线的几何性质的思想方法。

    3)双曲线

    了解双曲线的标准方程会求双曲线的标准方程;了解双曲线的简单几何性质。

    4抛物线

    了解抛物线的标准方程会求抛物线的标准方程;了解抛物线的简单几何性质。

    5)圆锥曲线的共同性质

    了解圆锥曲线的共同性质;了解圆锥曲线的简单应用。

    3.导数及其应用

    1)导数的概念

    了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义;了解导数概念的实际背景体会导数的思想及其内涵。

    通过函数图象直观地理解导数的几何意义

    2)导数的运算

    理解导数的定义能根据导数的定义求函数 y=cy=xy=x2y= 的导数知道 =3x2

    了解基本初等函数的导数公式;了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。

    3)导数在研究函数中的应用

    了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

    了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值。

    4)导数在实际生活中的应用

    能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题;感受导数在解决实际问题中的作用。

    【教学建议】

    1.关于常用逻辑用语的教学,应注意以下问题:

    1)这里所说的命题是指明确地给出条件和结论的命题,对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解,不研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否命题。重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

    2)应通过具体实例,使学生了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,学会用它们正确地表述相关的数学内容,要避免抽象的讨论。教学中对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求不要出现“简单命题”、“复合命题”等名词。

    3)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义。在教学中,应通过对具体实例的探究,加强学生对于含有一个量词的命题的否定的理解,。

    4)注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释不要求使用真值表。

    2.关于圆锥曲线的教学,应注意以下问题:

    1)突出解析几何的基本思想方法:通过建立平面直角坐标系,把“曲线”转化为“方程”;通过“方程”的研究,又获得“曲线”的性质。

    2)圆锥曲线的概念教学中,应使学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程,通过直观获得它们的定义,不必对探索、推理过程作过多的研究。

    椭圆、双曲线、抛物线的教学,应将重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的几何性质上。例如对于求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的一类问题只要通过一些简单的例题让学生学会正确地选择方程的类型并能运用待定系数法等方法求出方程中有关参数的值从而规范地写出方程就可以了要避免繁杂的计算防止追求变形的技巧和提高运算量来增加问题的难度。

    3)为了培养学生的学习兴趣与探究精神在教学过程中,要引导学生进行类比猜想。教学圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质时,可以指导学生根据方程形式和图形特征等进行类比猜想,培养学生的直觉思维与合情推理的能力。例如在研究了椭圆之后可以根据双曲线与椭圆的定义之间的关系引导学生对双曲线的标准方程进行类比猜想;在研究了抛物线之后再引导学生由抛物线的定义进行类比猜想:椭圆和双曲线是否也可以用这种形式进行定义?进而通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。

    椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,教学中要注意探索和研究它们的共同特征。例如,这三种圆锥曲线的标准方程(二次)、定义(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、对称性、离心率)等有相似之处研究方法也基本相同。从而帮助学生了解它们之间的内在联系。

    4)圆锥曲线在现实世界、社会生活中有着广泛的应用,教学过程中应通过丰富的实例(例如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等)使学生了解圆锥曲线的背景与应用,感受圆锥曲线的应用价值,增强数学应用意识,提高数学建模能力。

    5)教学中,要注意充分运用信息技术进行数学探究和数学发现。例如平面截圆锥面、圆锥曲线性质(范围、对称性、离心率、渐近线等)变化过程可用计算机展示。

    3.关于导数及其应用的教学,应注意以下问题:

    1)导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中,可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等反映导数应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

    2)在导数的概念建立之后,要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想。这里的常见初等函数指:

    3)教学中,要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值。教学中要注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习。

    4)教师应引导学生在解决具体问题的过程中,结合实例和函数的图象,借助几何直观,将研究函数的导数方法与初等方法作比较,让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

    5)重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学,发挥导数的工具作用。要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题,帮助学生增强数学应用的意识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值。

    6)引导学生阅读有关资料了解微积分创立的时代背景和有关人物;让学生体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

     

     


    数学1-2

    【课程目标】

    本模块的内容包括:统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图

    通过统计案例的教学使学生巩固必修课程的统计基础知识了解解决特殊问题的统计过程及一些常用的统计方法;能够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题;进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想认识统计方法在决策中的作用。

    通过推理与证明的教学使学生通过对已学知识的回顾进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点了解数学证明的基本方法包括直接证明的方法(如分析法、综合法)和间接证明的方法(如反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用养成言之有理、论证有据的习惯。

    通过数系的扩充与复数的引入的教学使学生了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性学习复数的一些基本知识;体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

    通过框图的教学使学生学会用“流程图”、“结构图”等刻画、解决问题体会框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示;体验用框图表示解决问题过程的优越性。发展学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、表达和交流能力。

    【学习要求】

    1.统计案例

    了解独立性检验(只要求2?/SPAN>2列联表)的基本思想、方法及初步应用。

    了解线性回归的基本思想、方法及初步应用(对用配方法导出回归系数公式不作要求)。

    2.推理与证明

    1)合情推理与演绎推理

    能用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。

    掌握演绎推理的基本方法并能运用它们进行一些简单推理。

    了解合情推理和演绎推理的联系和区别。

    2)直接证明与间接证明

    了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点。

    3.数系的扩充与复数的引入

    1)数系的扩充

    了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。

    2)复数的四则运算

    理解复数代数形式的四则运算法则能进行复数代数形式的四则运算。

    3)复数的几何意义

    了解复数的几何意义;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

    4.框图

    1流程图

    了解程序框图。

    了解工序流程图(即统筹图)。

    能绘制简单实际问题的流程图了解流程图在解决实际问题中的作用。

    2)结构图

    了解结构图;能用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息;了解结构图在揭示事物联系中的作用。

    教学建议

    1关于统计案例的教学,应注意以下问题:

    1)在统计案例的教学中,应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程,培养他们对数据的直观感觉,认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等),体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会,可结合数学建模的活动,选择一些案例,引导学生亲自实践。统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想了解统计学对社会生活和科学研究的重要性。只要求学生了解两种统计方法(独立性检验和回归分析)的基本思想及其初步应用对于其理论依据不作要求避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

    2)在2?/SPAN>2列联表独立性检验的教学中教师应指导学生关心如何选用一个量用它的大小来说明独立性是否成立从直观上关注其方法的合理性至于最后选取的量及其大小的界定超出了高中的范围可以只告诉其结果使之能够操作即可。

    3)线性回归分析是在《数学3》(必修)的基础上进一步认识线性回归的方法及其可靠性。教学中要引导学生通过实例从感性到理性逐层深入地探求对线性相关程度进行检验的统计量(相关系数)从而建立线性回归分析的基本算法步骤。对为什么相关系数r可以估计相关的程度只要求从直观上加以感受不必介绍理论依据。

    4教学中鼓励学生使用计算器(机)等信息技术手段来处理数据,有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的实习作业,培养学生解决实际问题的能力。

    2关于推理与证明的教学,应注意以下问题:

    1)教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论并用演绎推理确认所得结论的正确性或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理而不追求对概念的抽象表述。

    2)这部分中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

    3教材中安排一些合情推理欣赏的案例是供学生阅读欣赏使用的不宜过多让学生进行这方面的训练。

    4)引导学生阅读有关资料了解公理化思想和计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

    3关于数系扩充与复数的教学,应注意以下问题:

    在复数概念与运算的教学中,应注意避免繁琐的计算与技巧的训练。对于感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容,如求x31的根、介绍代数学基本定理等,但不作普遍要求。

    4关于框图的教学,应注意以下问题:

    框图的教学应从分析实例入手引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解流程图和结构图的特征掌握框图的用法体验用框图表示解决问题过程的优越性。


    选 修 系 列 2

    数学21

    【课程目标】

    本模块的内容包括:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何。

    通过常用逻辑用语的教学,使学生学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容;体会逻辑用语在表述和论证中的作用形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证过程的能力从而能够更好地进行交流。

    通过圆锥曲线与方程的教学使学生了解圆锥曲线与二次方程的关系掌握圆锥曲线的基本几何性质,了解曲线与方程的对应关系,能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(例如直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用进一步体会解析几何的基本思想;了解平面解析几何产生和发展的过程及其对数学发展和社会发展的推动作用;培养学生的运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点。

    通过空间向量与立体几何的教学使学生学会运用空间向量处理立体几何中有关直线、平面位置关系与度量的问题;体会向量方法在研究几何图形中的作用培养和发展学生的推理论证能力、逻辑思维能力、运用向量语言进行表达和交流的能力、空间想像能力和几何直观能力;让学生在经历向量及其运算由平面向空间推广和运用向量方法解决空间几何问题的过程中感悟运算、推理在探索和发现中的作用体会数学研究方法的模式化特点感受理性思维的力量提高数学素养。

    【学习要求】

    1.常见逻辑用语

    1)命题及其关系

    了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义会分析四种命题的相互关系

    理解必要条件、充分条件与充要条件的意义;会判断必要条件、充分条件与充要条件

    2)简单的逻辑联结词

    了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(对真值表不作要求)

    3)全称量词与存在量词

    理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容

    理解对含有一个量词的命题的否定的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定

    2圆锥曲线与方程

    1)圆锥曲线

    了解圆锥曲线的实际背景;经历从具体情境中抽象出圆锥曲线的过程。

    掌握椭圆、抛物线的定义和几何图形;了解双曲线的定义和几何图形。

    2)椭圆

    掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;掌握椭圆的简单几何性质,能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

    3)双曲线

    了解双曲线的标准方程,会求双曲线的标准方程;会用双曲线的标准方程处理简单的实际问题;了解双曲线的简单几何性质。

    4)抛物线

    掌握抛物线的标准方程,会求抛物线的标准方程;掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题。

    5)圆锥曲线的统一定义

    了解圆锥曲线的统一定义;能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。

    6)曲线与方程

    了解曲线与方程的对应关系;了解求曲线方程的一般步骤,能求一些简单曲线的方程;掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法;进一步体会数形结合的思想方法

    3.空间中的向量与立体几何

    1)空间向量及其运算

    了解空间向量与平面向量的联系与区别;了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。

    了解空间向量、共线向量、共面向量等概念;理解空间向量共线、共面的充要条件;了解空间向量的基本定理及其意义;掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

    掌握空间向量的线性运算及其性质;掌握空间向量的坐标运算。

    理解空间向量的夹角的概念掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

    2)空间向量的应用

    理解直线的方向向量与平面的法向量的意义;会用待定系数法求平面的法向量。

    能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系。

    能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理);能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系。

    能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题;体会向量方法在研究几何问题中的作用。

    【教学建议】

    1.关于常用逻辑用语的教学,应注意以下问题:

    1)这里所说的命题是指明确地给出条件和结论的命题,对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性了解,不研究含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的逆命题、否命题与逆否命题。重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

    2)应通过具体的实例,使学生了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,学会用它们正确地表述相关的数学内容,要避免抽象的讨论。教学中对含有逻辑联结词的命题的否定不作要求不要出现“简单命题”、“复合命题”等名词。

    3)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义,在教学中,应通过对具体实例的探究,加强学生对含有一个量词的命题的否定的理解。

    4)注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释对真值表不作要求

    2.关于圆锥曲线的教学,应注意以下问题:

    1)突出解析几何的基本思想方法:通过建立平面直角坐标系,把“曲线”转化为“方程”;通过“方程”的研究,又获得“曲线”的性质。

    2)在圆锥曲线的概念教学中,应使学生经历从具体情境中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程,通过直观获得它们的定义,不必对探索、推理过程作过多的研究。

    椭圆、双曲线、抛物线的教学,应将重点放在如何建立曲线方程及怎样用曲线方程研究曲线的几何性质上。例如对于求椭圆、双曲线和抛物线的标准方程的一类问题只要通过一些简单的例题让学生学会正确地选择方程的类型并能运用待定系数法等方法求出方程中有关参数的值从而规范地写出方程就可以了要避免繁杂的计算防止追求变形的技巧和提高运算量来增加问题的难度。

    3)为了培养学生的学习兴趣与探究精神在教学过程中,要引导学生进行类比猜想。教学圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质时,可以指导学生根据方程形式和图形特征等进行类比猜想,培养学生的直觉思维与合情推理的能力。例如在研究了椭圆之后可以根据双曲线与椭圆的定义之间的关系引导学生对双曲线的标准方程进行类比猜想;在研究了抛物线之后再引导学生由抛物线的定义进行类比猜想:椭圆和双曲线是否也可以用这种形式进行定义?进而通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。

    椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,教学中要注意探索和研究它们的共同特征。例如这三种圆锥曲线的标准方程(二次)、定义(平面截圆锥面所得)、统一定义、性质(焦点、准线、对称性、离心率)等有相似之处研究方法也基本相同从而帮助学生了解它们之间的内在联系。

    4)圆锥曲线在现实世界、社会生活中有着广泛的应用,教学过程中应通过丰富的实例(例如行星运行轨道、抛物运动轨迹、探照灯的镜面等),使学生了解圆锥曲线的背景与应用,感受圆锥曲线的应用价值,增强数学应用意识,提高数学建模能力。

    5)曲线与方程的教学应以已学过的曲线(直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线)为主,使学生体会曲线与方程的对应关系,感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的学生,教师也可以引导他们了解圆锥曲线的离心率与统一方程的有关知识。

    6)教学中要注意充分运用信息技术进行数学探究和数学发现。例如平面截圆锥面、圆锥曲线性质(范围、对称性、离心率、渐近线等)的变化过程可用计算机来展示。

    3.关于空间中的向量与立体几何的教学,应注意以下问题:

    1)在空间向量及其运算的教学中,要注意引导学生学会运用类比、归纳等方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,体验数学在结构上的和谐性,弄清楚空间向量与平面向量的区别与联系。

    2)空间向量的线性运算及其性质、空间向量的数量积、空间向量的共线和垂直的充要条件等,与平面向量是基本一致的。教学中,应引导学生类比猜想、自主探索,得出相应的性质和法则,使学生学会学习。

    3)利用空间向量解决立体几何问题主要包括:证明一些定理(如空间位置关系的一些判定定理)和度量计算。教学中,应注意让学生体会向量的思想方法,不要过于追求解题技巧性。关于三垂线定理只要求会用向量法证明该定理而不要求将定理作为推理的依据。关于度量计算只要求用向量法解决线线、线面、面面的夹角的计算而不要求学生去解决有关距离的计算等问题。


    数学2-2

    课程目标

    本模块的内容包括:导数及其应用、推理与证明数系的扩充与复数的引入。

    通过导数及其应用的教学使学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程理解导数的概念体会导数的思想及其内涵;掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用;初步了解定积分的概念为以后进一步学习微积分打下基础。使学生感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用以及变量数学的思想方法提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力;体会微积分的产生对人类文化发展的意义和价值培养学生的创新意识和创新精神。

    通过推理与证明的教学使学生通过对已学知识的回顾进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点了解数学证明的基本方法包括直接证明的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用养成言之有理、论证有据的习惯。

    通过数系的扩充与复数的引入的教学,使学生了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性学习复数的一些基本知识;体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

    学习要求

    1.导数及其应用

    1)导数的概念

    了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义了解导数概念的实际背景;理解导数的几何意义。

    2)导数的运算

    理解导数的定义能根据导数的定义求函数y=cy=xy=x2y=x3 y=的导数。

    了解基本初等函数的导数公式;了解导数的四则运算法则;能利用导数公式表中的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数;能求简单的复合函数(仅限于形如fax b))的导数。

    3)导数在研究函数中的应用

    了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

    了解函数的极大(小)值、最大(小)值与导数的关系;会求不超过三次的多项式函数的极大(小)值以及在指定区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值。

    4)导数在实际生活中的应用

    能用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题;体会导数在解决实际问题中的作用。

    5)定积分

    了解定积分的实际背景;初步了解定积分的概念;会求简单的定积分。

    直观了解微积分基本定理的含义。

    2.推理与证明

    1)合情推理与演绎推理

    能用归纳和类比等进行简单的推理体会并了解合情推理在数学发现中的作用。

    掌握演绎推理的基本方法并能运用它们进行一些简单推理。

    了解合情推理和演绎推理的联系和区别。

    2)直接证明与间接证明

    了解分析法、综合法、反证法的思考过程和特点。

    3)数学归纳法

    了解数学归纳法的原理能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

    3.数系的扩充与复数的引入

    1)数系的扩充

    了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件。

    2)复数的四则运算

    理解复数代数形式的四则运算法则能进行复数代数形式的四则运算。

    3)复数的几何意义

    了解复数几何意义;了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

    教学建议

    1.关于导数及其应用的教学,应注意以下问题:

    1)导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。教学中,可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等反映导数应用的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用,体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的是帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用。

    2)在导数的概念建立之后,要认真引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想。这里的常见初等函数指:

    3)教学中,要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值,注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习。4教师应引导学生在解决具体问题的过程中结合实例及函数的图象借助几何直观将研究函数的导数方法与初等方法作比较让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

    5)重视导数在研究函数与实际生活中的应用的教学,发挥导数的工具作用。要注意运用学生熟悉的数学问题、生产与生活中的实际问题,帮助学生增强数学应用的意识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值。

    6)引导学生阅读有关资料了解微积分创立的时代背景和有关人物让学生体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

    2关于推理与证明的教学,应注意以下问题:

    1)教学中应通过实例引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论并用演绎推理确认所得结论的正确性或者用反例推翻错误的猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理而不追求对概念的抽象表述。

    2)这部分中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结。在教学中应通过实例引导学生认识各种证明方法的特点体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。

    3教材中安排一些合情推理欣赏的案例是供学生阅读欣赏使用的不宜过多让学生进行这方面的训练。

    4)教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理对于用数学归纳法证明的问题要控制难度仅限于“(1)验证P(n0)成立;(2)假设P(k)成立推出P(k 1) 也成立。”的类型。

    5)引导学生阅读有关资料了解公理化思想和计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

    3关于数系的扩充与复数的引入的教学,应注意以下问题:

    在复数概念与运算的教学中应注意避免繁琐的计算与技巧训练。对于感兴趣的学生可以安排一些引申的内容如求x31的根、介绍代数学基本定理等但不作普遍要求。

     

     


    数学2-3

    【课程目标】

    本模块的内容包括:计数原理、概率、统计案例

    通过计数原理的教学使学生掌握两个基本计数原理、排列、组合、二项式定理及应用会解决简单的计数问题;体验计数与现实生活的联系充分体会两个基本计数原理在解决实际问题时的工具作用。

    通过概率的教学使学生在必修课程的概率知识的基础上了解某些离散型随机变量的分布列及其均值、方差等内容初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法;能用所学知识解决一些简单的实际问题;进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点初步形成用随机观念观察、分析问题的意识。

    通过统计案例的教学使学生巩固必修课程的统计基础知识了解解决特殊问题的统计过程及一些常用的统计方法;能够使用常用的统计方法解决一些特殊的统计问题;进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想认识统计方法在决策中的作用。

    【学习要求】

    1.计数原理

    1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理

    掌握分类计数原理与分步计数原理并能用它们解决一些简单的应用问题。

    2)排列与组合

    理解排列、组合的意义掌握排列数、组合数计算公式和组合数的性质并能用它们解决一些简单的应用问题。

    3)二项式定理

    掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。

    2.概率

    了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念了解分布列对于刻画随机现象的重要性;会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

    了解超几何分布及其导出过程并能进行简单的应用。

    了解条件概率和两个事件相互独立的概念理解n次独立重复试验的模型及二项分布并能解决一些简单的实际问题。

    了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

    正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义不作要求)。

    3.统计案例

    了解独立性检验(只要求2?/SPAN>2列联表)的基本思想、方法及初步应用。了解假设检验的基本思想掌握用χ2统计量进行独立性检验的操作方法。

    了解线性回归的基本思想、方法及初步应用(对用配方法导出回归系数公式不作要求)。

    教学建议

    1关于计数原理的教学,应注意以下问题:

    1)教学中应通过实例引导学生总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理理解排列、组合的概念。

    2)教学中引导学生根据计数原理分析、处理问题而不应机械地套用公式。同时应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。

    3)在二项式定理的教学中可以介绍我国古代数学成就“杨辉三角”以丰富学生对数学文化价值的认识。

    2关于概率的教学,应注意以下问题:

    1)研究一个随机现象就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型要求通过实例引入这两个概率模型不追求形式化的描述。教学中应通过实例使学生分清二项分布与超几何分布理解其本质意义。

    2)教学中应通过实例使学生理解条件概率的意义、了解两个事件相互独立的含义;引导学生发现条件概率的计算公式、相互独立的两个事件同时发生的概率的计算公式并说明两者之间的关系。

    3)概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义因此要通过日常生活中的大量实例鼓励学生动手试验正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性。鼓励学生尽可能运用计算器(机)来处理数据进行模拟活动更好地体会统计思想和概率的意义。例如利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。

    3关于统计案例的教学,应注意以下问题:

    1)教学中应鼓励学生经历较为系统的数据处理的全过程培养他们对数据的直观感觉认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等)体会统计方法应用的广泛性。应尽量给学生提供一定的实践活动机会可结合数学建模的活动选择一些案例引导学生亲自实践。统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想了解统计学对社会生活和科学研究的重要性。只要求学生了解两种统计方法(独立性检验和回归分析)的基本思想及其初步应用对于其理论依据不作要求避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。

    2)在2?/SPAN>2列联表独立性检验的教学中教师应指导学生关心如何选用一个量用它的大小来说明独立性是否成立从直观上关注其方法的合理性至于最后选取的量及其大小的界定超出了高中的范围可以只告诉其结果使之能够操作即可。

    3线性回归分析是在《必修3》的基础上进一步认识线性回归的方法及其可靠性。教学中要引导学生通过实例从感性到理性逐层深入地探求对线性相关程度进行检验的统计量(相关系数)从而建立线性回归分析的基本算法步骤。对为什么相关系数r可以估计相关的程度只要求从直观上加以感受不必介绍理论依据。

    4教学中应鼓励学生使用计算器(机)等信息技术手段来处理数据有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题。可以安排以抽样方法为主要内容的   实习作业培养学生解决实际问题的能力。

     


    选 修 系 列 3

    选修3-1  数学史选讲

    【课程目标】 

    本专题的内容包括:早期算术与几何、古希腊数学、中国古代数学瑰宝、平面解析几何的产生、微积分的产生、欧拉与高斯、千古谜题、康托的集合论等。

    通过本专题的学习,使学生了解数学发展过程中若干重要事件、人物与成就,初步了解数学产生与发展的过程;使学生体会数学对人类文明发展的作用,体会数学的科学价值、应用价值、文化价值;提高学生学习数学的兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。

    【学习要求】

    1.早期算术与几何——计数与测量

    了解纸草书中记录的数学(古代埃及),了解泥板书中记录的数学(两河流域),知道《周髀算经》、勾股定理(赵爽的图)、了解十进位值制的发展历程。逐步形成对数制和早期几何形成历史的比较完整的认识。

    2古希腊的数学

    了解毕达哥拉斯多边形数从勾股定理到勾股数不可公度问题;了解欧几里得与《几何原本》演绎逻辑系统第五公设问题尺规作图以及公理化思想对近代科学的深远影响;初步了解阿基米德的工作(求积法);了解初等几何公理体系的历史发展过程。

    3.中国古代数学瑰宝

    了解《九章算术》中的数学(方程术、加减消元法、正负数),了解大衍求一术(孙子定理),了解一些中国古代著名数学家的情况,了解中华民族丰富灿烂的古代数学成就。

    4.平面解析几何的产生——数与形的结合

    初步感知函数与曲线的内在联系,初步体会笛卡儿方法论的意义感受解析几何发明在数学史的重要性。

    5.微积分的产生——划时代的成就

    了解微积分思想方法的发展轨迹,了解微积分在数学中的地位,了解微积分的发明对于科学发展的伟大意义。

    6.近代数学两巨星——欧拉与高斯

    初步了解欧拉的数学直觉,了解高斯时代的数学特点(数学严密化)。了解欧拉与高斯的某些研究成果和历程,感受数学家的坚强意志和追求真理的精神。

    7.千古谜题——伽罗瓦的解答

    了解青年数学家阿贝尔和伽罗瓦的人生经历。了解几何作图的三大难题,初步了解近世代数的产生过程。

    8.康托的集合论——对无限的思考

    初步了解无限集合与势,了解罗素悖论与数学基础(哥德尔不完备定理)。了解集合理论诞生过程。

    9.随机思想的发展

    初步了解概率论的起源,了解近代统计学的缘起。

    10.算法思想的历程

    了解算法的历史背景,了解计算机科学中的算法;经历按开方术的思路编写程序并在计算机上实现开方的过程。

    11.中国现代数学的发展

    了解现代中国数学家奋发拼搏、赶超世界数学先进水平的一些事迹;初步了解中国现代数学研究和发展的一些情况。

    【教学建议】

    1本专题由若干个选题组成,内容应反映数学发展的不同时代的特点。通过史实介绍数学的思想方法,使学生体会数学的重要思想和发展轨迹,不必追求数学发展历史的系统性和完整性。选题的个数以不少于6个为宜。

    2.教学内容的安排可以采取多种形式。应通过生动活泼的语言与喜闻乐见的事例呈现内容。既可以由古到今追寻数学发展的历史,也可以从现实的、学生熟悉的数学问题出发追根溯源,回眸数学发展的重要事件和人物。内容的选择要符合学生的接受水平,教学内容应突出所蕴涵的思想性,突出数学发展的轨迹,突出数学家刻苦钻研的科学精神。

    3.教学方式应灵活多样,可采取讲故事、组织科普报告会、查阅资料等方式进行。呈现方式可使用图片、幻灯、录像课件等,力求图文并茂、丰富多彩,以引起学生的学习兴趣。教师要鼓励学生对数学发展的历史轨迹、感兴趣的历史事件与人物作进一步探索,撰写一些数学小论文,并组织学生交流讨论。

     

    选修 3-2  信息安全与密码

    课程目标

    本专题的内容包括:初等数论中的一些基本概念(整除、同余、模m的完全同余系和简化剩余系、欧拉定理和费马小定理、威尔逊定理、欧拉函数、模的原根存在性等);信息安全与密码的一些概念;数论在现代信息安全中重要应用的案例。

    通过本专题的教学使学生了解初等数论的一些基础知识,了解代数和数论在现代信息理论、信息安全中某些重要应用,拓展学生的数学视野,提高学生对数学的科学价值、应用价值的认识,提高对数学的鉴赏力,增强学习数学的兴趣。

    学习要求

    1.初等数论的有关知识

    1)了解整除和同余的概念,了解模m的完全同余系和简化剩余系的概念,了解欧拉定理和费马小定理,了解大数分解问题。

    2)了解欧拉函数的定义和计算公式,了解威尔逊定理及在素数判别中的应用,了解原根与指数、模的原根存在性,了解离散对数问题。

    2数论在信息安全中的应用

    1)了解通讯安全中的有关概念(如明文、密文、密钥)和通讯安全中的基本问题(如保密、数字签名、密钥管理、分配和共享)。

    2)了解古典密码的一个例子:流密码(利用模m同余方式)。

    3)理解公钥体制(单项函数概念),以及加密和数字签名的方法(基于大数分解的RSA方案)。

    4)理解离散对数在密钥交换和分配中的应用——棣弗-赫尔曼(Diffie-Hellman)方案。

    5)理解离散对数在加密和数字签名中的应用——盖莫尔(El Gamal)算法。

    6)了解拉格朗日插值公式在密钥共享中的应用。

    教学建议

    1本专题的教学应力求深入浅出。教师应注意介绍相关内容(如通信技术的发展等)的历史与背景,帮助学生理解信息安全中需要解决的问题以及如何利用公钥体制解决这些问题,体会大数分解和离散对数等思想方法在现代信息安全中所起的作用。

    2欧拉定理和费马小定理的推导或证明可以根据学生的情况处理,可以不作要求。

    3.在条件允许的情况下,教师应引导学生利用计算机对下列问题进行思考,并编制程序、上机实验。

    (1)   用辗转相除计算最大公约数;

    (2)   解同余方程 axb (modm)

    (3)   判断大整数是否为素数(用Wilson定理);

    (4)   大数分解。

    4.提倡多样化的学习方式,可以是教师讲授,也可以是在教师指导下学生的自主探索和合作交流,还应鼓励学生独立阅读、写专题总结报告等。让学生切身体会“做数学”是学好数学的有效途径、独立思考是“做数学”的基础。

    5.本专题教学结束后,可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要注意从以下几个方面做好指导:1)知识的总结对信息安全有关内容的理解和认识,体会数学(数论和代数学)在信息安全中的作用2)拓展通过查阅课外资料,对某些内容和应用进行进一步探讨和思考。

     

    选修3-3  球面上的几何

    【课程目标】

    本专题的内容包括:球面的简单性质、球面上的直线、球面三角形的面积与球极三角形、球面三角公式、球面几何与平面几何的关系。

    通过本专题的教学,使学生了解一个新的数学模型──球面几何,初步了解球面几何的基本知识及其在实际中的一些应用,通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系,使学生感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型;通过类比使学生体会这个专题所涉及到的重要思想方法;培养学生的空间想像和几何直观能力。

    【学习要求】

    1.了解球面几何知识在实际问题中的丰富应用(如测量、航空、卫星定位),体会引入球面几何知识的必要性。

    2.了解球面几何与欧氏平面几何的异同。例如,球面上的大圆相当于平面上的直线,球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分,球幂定理。

    3.通过对实例的分析,体会球面具有类似平面的对称性质。

    4.了解球面上的一些基本图形:大圆、小圆、球面角、球面二角形(月形)、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形(简称球极三角形)。

    5.通过球面几何与欧氏平面几何的比较,探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上,由此理解球面三角形的全等定理s.s.ss.a.sa.s.a

    6.理解单位球面三角形的面积公式(S=A B C-),由此体会球面三角形内角和大于180啊?/SPAN>

    7.了解球面三角形全等的a.a.a定理。

    8.利用球面三角形面积公式证明欧拉公式,体验球面几何与拓扑学的关系。

    9.利用向量的叉乘(向量积)探索并证明球面余弦定理(cosc=cosacosb

    sinasinbcosC)和球面上的勾股定理(即当C=时的球面余弦定理),能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理()。

    10.体会当球面半径无限增大时,球面接近于平面,球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。

    【教学建议】

    1.本专题的重点是培养学生的空间想像能力和几何直观能力,教学中,要注意突出这个重点。

    2.教学中应使学生切实地感受到利用球面几何知识可以解决(或解释)生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时,应让学生通过欧氏平面几何与球面几何的类比,得到球面几何的相关结论,促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。

    3.介绍球面几何与欧拉公式,主要是为了开拓学生的数学视野,使学生了解一些非欧几何模型,帮助学生掌握现代数学思想方法。欧拉公式的教学难度要控制,只要了解多面体的顶点数、棱数、面数之间的关系就可以了,证明不作要求。

    4.球面几何涉及到大量的空间图形的对称性(变换)。使用信息技术有助于学生空间想象能力的发展,在教学中应充分利用多媒体技术。

    5本专题教学结束后,可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要注意从以下几个方面做好指导:1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解,说明球面几何与平面几何中哪些公式(定理)是相同的,哪些公式有本质差异;说明球面与平面的关系。(2)通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步思考几何与现实空间的关系。(3)学习球面几何的感受、体会。

    选修3- 4   对称与群

    课程目标

    本专题的内容包括:轴对称、旋转对称、平移对称、对称与群及对称的应用。

    通过本专题的教学使学生认识到对称是自然界中一种十分重要的性质,了解变换群的概念,学习群的表达方法,会求一些比较简单的几何图形的对称群,进一步体会群在研究事物对称性质和研究其他数学对象中的重要作用,感受和体验由具体到抽象、特殊到一般等数学思想方法的应用。

    学习要求

    1.通过丰富的对称图形,感受日常生活和现实世界中存在着大量对称现象。

    2.通过分析图形的不同对称性和刚体运动,了解刚体运动的基本性质,寻求刻画不同图形对称性的思想,逐步形成图形对称变换的概念。

    3.结合简单的具体图形,找出其所有对称变换,逐步形成对称变换合成的概念,理解对称变换合成的封闭性。

    4结合具体的图形实例,通过操作,认识对称变换满足结合律,理解恒等变换的概念,逆变换的概念及其性质,针对具体的图形能找出一个对称变换的逆变换。

    5.通过具体实例,建立变换群的概念,并初步了解抽象群的概念,了解一种群的表示方法──乘法表法。

    6.能借助几何直观求出一些几何图形和具有一定对称性的简单化学分子模型的对称群。

    7从具体的实例入手,了解一种由较为简单群构造出较为复杂群的方法──直积。了解群论在现实生活中的重要应用,如晶体分类定理。

    8.考察其他形式的对称变换,如代数式。通过二次、三次方程的求解过程,了解代数方程根的对称群的含义,并了解伽罗瓦利用群论方法解决方程根式解问题的科学史实,感受群论在现代数学中的重大作用。

    教学建议

    1对称变换、变换的合成(乘法)运算等概念都是比较抽象的概念。教学时应从具体的实例和恰当的情境引入,而不能从抽象的定义出发。

    2对于中学生来说,群是一个全新的学习对象。对称变换群是把对称变换作为一个运算系统来研究,与过去所学习的数与代数式的运算系统有很大的区别。因此本专题只能以比较简单的具体的群为例。教学的重点在于使学生了解群在刻画对称性中的作用,而尽量避免论述群的抽象定义和性质。同时要求学生能通过具体的几何图形的分析,学会求出一些简单几何图形的对称群,在操作实践过程中感受群的含义。

    3晶体分类与方程的伽罗瓦理论是群论的两项重大应用成果。在本单元不能详细证明晶体分类定理和方程的伽罗瓦定理,但向学生介绍这两项成果,可以使学生感受现代数学的研究方法和特点。因此,做好这种介绍性工作也是本单元的教学目标之一。

    4.本专题教学结束后,可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要注意从以下几个方面做好指导:1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解,对对称的数学描述和群的概念的认识。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步探讨对称在自然界中的广泛性和群对刻画对称的作用。(3)学习本专题的感受、体会。

     

    选修3-5  欧拉公式与闭曲面分类

    课程目标

    本专题的内容包括:几种几何变换及其特性、拓扑变换、简单多面体的欧拉定理与欧拉示性数、曲面的三角剖分及其欧拉示性数、闭曲面分类和拓扑思想应用赏析。

    通过本专题的教学使学生在已经学习过的平移、旋转、相似、位似、全等、对称、压缩、伸长等几何变换的基础上,了解几何变换不变量的概念以及拓扑变换的思想方法;体验多面体欧拉公式的探究与发现的过程,明确欧拉公式和欧拉示性数是重要的拓扑不变量,掌握曲面的三角剖分的方法,并能利用它们对曲线、曲面进行分类;使学生能够生动地感受到:使用变换对几何图形进行分类,是几何学的重要内容,揭示在不同变换下几何图形的不变性质或不变量是研究这类问题的基本思想方法;培养学生空间想象和抽象思维的能力、以及探究、发现和创新的能力,使学生进一步地感受数学的魅力。

    学习要求

    1.几种几何变换及其特性

    掌握平移、旋转、相似、位似、全等、对称、压缩、伸长等几何变换的概念、方法和基本特征,理解几何变换不变量的意义,并能使用它们对平面图形进行分类。

    2.拓扑变换

    了解拓扑变换的直观意义,知道一些拓扑不变量,并能用它们对一些曲线、闭曲面进行分类,了解一些曲线、闭曲面的分类结果。

    3.简单多面体的欧拉定理与欧拉示性数

    理解简单多面体的欧拉定理,掌握欧拉公式的拓扑证明方法,会用欧拉公式解决一些相关的问题(例如探索正多面体的个数等),了解多面体的欧拉示性数,学会探索非欧拉多面形的面数、棱数、顶点数的关系。

    4.曲面的三角剖分及其欧拉示性数

    理解单形、多面体、复形与剖分以及曲面三角剖分的概念,掌握曲面三角剖分的方法,了解曲面的欧拉示性数的意义,会求一些曲面的欧拉示性数。

    5.闭曲面分类

    了解曲面的可定向性与不可定向性的概念,理解闭曲面分类基本定理。

    6.拓扑思想应用赏析

    了解拓扑思想的一些应用(例如平面布线问题、一笔画问题、布劳威尔不动点定理与经济稳定点问题、四色问题等),进一步体会数学的价值。

    教学建议

    1.在教学中教师应注意引导学生通过复习已经学过的几种常见的几何变换,帮助学生分析在这些变换下不变的几何性质,由此体会变换与变换不变量的思想。

    2.多面体的欧拉定理是一个比较直观的几何定理,无论定理的内容还是定理的证明,学生都易于理解和接受。因此,教学时应把重点放在引导学生探索发现欧拉公式及其证明的过程上,帮助学生体会数学家的创造性工作,培养学生科学发现的精神和探究创新的能力。

    多面体的欧拉定理本质上是一个拓扑学定理,它与许多初等几何的定理之间都存在着密切的联系。例如,我们可以把欧拉定理看成三角形内角和定理的推广。

    三角形内角和定理:任何三角形的内角和都是平角

    多面体内角和定理:任一简单(单连通)多面体各个面的平面角的和等于

    由此可得,这就是欧拉定理。

    3.拓扑变换是一个抽象的概念,应该关注学生对拓扑变换形象和直观的理解。例如,把拓扑变换理解为橡皮变换,不要引导学生追求拓扑变换的形式化定义。

    4.三角剖分对于计算曲面的欧拉特征是一个易于理解的直观方法,也是研究几何图形的拓扑性质的重要思想方法教学中,要注意引导学生经历对具体曲面使用三角剖分的方法研究其性质的过程。例如计算球面、环面甚至是克莱因瓶的欧拉特征,使学生通过操作和实践学习来掌握三角剖分的思想方法。

    5.闭曲面分类定理是一个抽象的定理。教学过程中应该尽可能地引导学生从对直观的几何图形的观察入手,逐渐地将直观的几何性质归纳上升为比较抽象的拓扑学概念。在这里,学生需要掌握的主要内容不是闭曲面分类定理证明的详细步骤,而是研究闭曲面分类所采用的拓扑学方法。

    6.在介绍拓扑学的应用时,应注重对拓扑学的思想方法的挖掘与渗透,不追求形式化的、严格化的叙述。

    7.要充分发挥现代教育技术在学习、探索和解决问题中的作用,调动和激发学生学习数学的积极性,提高教学效果。

    8本专题教学结束后,可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。教师要从以下几个方面做好指导:(1)知识的总结。对本专题知识结构和学习内容的理解,以及对数学变换思想的认识。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步理解变换的不变量和曲面分类的思想。(3)学习本专题的感受和体会。

     

    选修3-6  三等分角与数域扩充

    【课程目标】

    本专题的内容包括:尺规作图的规则与三等分角问题的背景、可构作的数与数域、尺规可构作的条件、古希腊三大几何作图问题的解决、尺规构作正多边形的问题。

    通过本专题的教学,使学生了解尺规作图的规则和可构作的条件;使学生了解解决三等分角这类问题的基本思想方法,并能用此方法解决倍方问题和化圆为方问题;使学生了解尺规不可构作正七边形和可构作正十七边形的基本思路;通过本专题的讨论,使学生体会和理解其中蕴涵的数学思想方法,提高分析和解决数学问题的能力。

    【学习要求】

    1尺规作图的规则与三等分角问题的背景

    理解尺规作图的基本构作。

    了解不限尺规的三等分角的两种不同作法。

    2可构作的数与数域

    了解可构作的概念;理解解决三等分角问题的代数化的基本思路。

    给定线段ab,会用尺规构作长为a b, ab, ab, 的线段。

    理解有理数是可构作的。

    给定线段a,会用尺规构作长为的线段。

    了解数域、扩域的概念,会给出一些数域、扩域的具体实例。

    会证明:设F是一数域,kFFE={a b, a, bF},则E也是一个数域,且FE的子域。

    3尺规可构作的条件

    了解尺规可构作的充要条件。

    会判别整系数多项式是否有有理根。

    了解三次多项式的根可构作的必要条件。

    4古希腊三大几何作图问题的解决

    学会把三等分角问题代数化。

    会证明:不能用尺规作图的方法三等分60度角。

    会讨论倍方问题。

    了解化圆为方问题的讨论方法。

    5尺规构作正多边形问题

    了解复数乘法的棣莫弗公式。

    会用代数方法讨论尺规不可构作正七边形;了解尺规可构作正十七边形的代数讨论方法。

    【教学建议】

    1本专题在思想方法和证明的论述方面的要求都比较高。要求学生学会把握解决问题的整体思路,还要求学生在证明时,层次分明,条理清楚。

    2教学中,要求学生会用尺规构作长形如a b(a, b, k为有理数)的线段。

    3要求学生知道尺规可构作的充要条件和三次多项式的根可构作的必要条件,并会简单应用。

    4尺规构作三等分角问题,仅要求了解其思想方法,会证明尺规不可构作三等分60度角,对于任意角的尺规构作三等分问题不作要求。

    5尺规构作正多边形问题可供有兴趣的学生研究讨论。

    6通过本专题的学习,应使学生认识到数学不仅可以解决实际问题,而且在形成人类正确的思想方法和世界观方面数学同样发挥着重要的作用。

    7本专题教学结束后,可鼓励有兴趣的学生完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容:(1)知识的总结。解决三等分角问题的基本思路,清楚地表述证明的过程。体会和理解其中蕴涵的数学思想方法。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步体会几何问题代数化的方法和处理几何作图问题的思想。(3)学习本专题的感受、体会。
    选 修 系 列 4

     

    选修 4-1  几何证明选讲

    课程目标

    本专题的内容包括:相似三角形的进一步认识、圆的进一步的认识、圆锥截线。

    通过本专题的教学使学生能证明一些反映圆与直线关系的重要定理有助于培养学生的逻辑推理能力;使学生不仅理解逻辑演绎的程序而且体验大量的观察、探索、发现的创造性过程;通过对圆锥曲线性质的进一步探索使学生提高空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。

    学习要求

    1.相似三角形的进一步认识

    了解平行线等分线段定理和平行截割定理;掌握相似三角形的判定定理及性质定理;理解直角三角形射影定理。

    教学中,可以使用如下定理作为推理的依据:

    ◆平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形与原三角形的对应边成比例。

    ◆三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比。

    ◆经过梯形一腰中点而平行于底边的直线平分另一腰。

    ◆梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半。

    ◆若一条直线截三角形的两边(或其延长线)所得对应线段成比例,则此直线与三角形的第三边平行。

    ◆斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。

    2.圆的进一步认识

    理解圆周角定理及其推论;掌握圆的切线的判定定理及性质定理;理解弦切角定理及其推论。

    掌握相交弦定理、割线定理、切割线定理;理解圆内接四边形的性质定理与判定定理。

    教学中,可以使用如下定理作为推理的依据:

    ◆从圆外一点引圆的两条切线长相等。

    ◆若两点在一条线段同侧且对该线段张角相等,则此两点与线段两个端点共圆。特别的,对定线段张角为直角的点共圆。

    3.圆锥截线(本节内容不作要求可以选择部分内容教学

    了解平行投影的含义;了解平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

    了解平面截圆锥面的定理(简称圆锥截线定理)。

    教学建议

    1.本专题的部分内容,学生在初中已经初步了解其内容,并且在学习中侧重于观察、实验和操作,而本专题不仅是初中所学知识的深化,而且侧重于逻辑推理与抽象思维。教学中应使学生逐步适应这一思维层次的提升。

    2.本专题的教学,应按照从简到繁、从具体到抽象、从实验到论证的过程进行,要使学生在学习具体的平面几何内容中体会数学的思想方法,从而进一步培养创新思维的意识和能力。

    3.几何证明的难度应严格控制,在解决同一个问题的过程中,相似三角形(或全等三角形)的使用不宜超过2次,添置的辅助线不超过3条。

    4.圆锥截线定理的证明蕴涵着丰富的数学思想方法,它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用,有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。对这部分内容可以选择开设相关讲座或指导学生阅读。

     

     

     

     

     

     

     

     

     


    选修 4-2  矩阵与变换

    课程目标

    本专题的内容包括:二阶矩阵与平面向量、几种常见的平面变换、变换的复合与矩阵的乘法、逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的简单应用。

    通过本专题的教学使学生了解矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具许多数学模型都可以用矩阵来表示;使学生理解二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义;初步体会矩阵应用的广泛性进一步体会代数与几何结合的数形结合思想。

    学习要求

    1.二阶矩阵与平面向量

    了解矩阵的有关概念;掌握二阶矩阵与平面列向量的乘法。

    2.几种常见的平面变换

    理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线,即A(λ1α λ2β)λ1Aα λ2Aβ

    理解几种常见的平面变换:恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换;了解单位矩阵。

    3.矩阵的复合与矩阵的乘法

    掌握二阶矩阵的乘法;理解矩阵乘法的简单性质(不满足交换律、满足结合律、不满足消去律)。

    4.逆变换与逆矩阵

    理解逆矩阵的意义;掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件。

    理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1B-1A-1 等简单性质,并了解其在变换中的意义。

    会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。

    了解二阶行列式的定义;会用二阶行列式求逆矩阵。

    了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义。

    会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。

    理解二元线性方程组解的存在性、唯一性。

    5.特征值与特征向量

    掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义。

    会求二阶矩阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)。

    会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题。

    了解三阶或高阶矩阵。

    了解矩阵的简单应用。

    教学建议

    1.本专题只对具体的二阶方阵加以讨论而不讨论一般m?/SPAN>n阶矩阵以及(aij)形式的表示。

    2.矩阵的引入要从具体的实例开始通过具体的实例让学生认识到某些几何变换可以用矩阵来表示丰富学生对矩阵几何意义的理解并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。

    3.要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。

    4.要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。

    5.在学习二阶矩阵基础知识的同时教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识(如三阶矩阵或高阶矩阵)这些知识不要求学生掌握只要求学生作一些感性的认识也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解有利于以后的学习。

    6.这部分内容的教学应让学生认识到矩阵从实际生活需要中产生并在实际的问题中有着广泛的应用体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。

    7.矩阵的简单应用在教学中主要把握以下两方面情况:

    1)运用的矩阵为:m?/SPAN>1矩阵或1?/SPAN>n矩阵(mn4)或n?/SPAN>n方阵(n=23)。

    2)问题类型为:简单的网络图中的一级路、二级路矩阵问题;简单的二阶逆矩阵应用问题;简单的特征向量应用问题。


    选修4-4  坐标系与参数方程

     

    课程目标

    本专题的内容包括:坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数方程。

    通过本专题的教学使学生简单了解柱坐标系、球坐标系掌握极坐标和参数方程的基本概念了解曲线的多种表现形式;通过从实际问题中抽象出数学问题的过程使学生体会数学在实际中的应用价值;培养学生探究数学问题的能力和应用意识。

    学习要求

    1.坐标系

    了解极坐标系;会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置;会进行极坐标和直角坐标的互化。

    了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法(本节内容不作要求)。

    2.曲线的极坐标方程

    了解曲线的极坐标方程的求法;会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化;了解简单图形(过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆)的极坐标方程。

    3.平面坐标系中几种常见变换(本节内容不作要求

    了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。

    4.参数方程

    了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

    理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用。

    会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

    教学建议

    1.坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组(坐标)来刻画在不同坐标系中这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中可以引导学生自己尝试建立坐标系说明建立坐标系的原则激励学生的发散思维和创新思维并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处

    2.教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性但是在表示点的极坐标时如无特别要求通常取ρ0 0θ。极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是极坐标方程化为直角坐标方程;参数方程与普通方程的互化主要是参数方程化为普通方程并注意参数的取值范围。

    3.求曲线的极坐标方程主要包括:特殊位置的直线(如过极点的直线)、圆(过极点或圆心在极点的圆);求曲线的参数方程主要包括:直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。

    4.应通过对具体物理现象的分析(抛物运动的轨迹)引入参数方程使学生了解参数的作用。应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识选择适当的参数建立曲线的参数方程。

    5.可以组织学生成立兴趣小组合作研究摆线的性质收集摆线应用的实例,了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等使学生感受这些曲线的美。

     


    选修4-5  不等式选讲

    课程目标

    本专题的内容包括:不等式的基本性质、含有绝对值的不等式、不等式的证明、几个著名的不等式、利用不等式求最大(小)值、数学归纳法与不等式。

    通过本专题的教学使学生理解在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系不等关系和相等关系都是基本的数学关系它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用;使学生了解不等式及其证明的几何意义与背景以加深对这些不等式的数学本质的理解提高学生的逻辑思维能力和分析问题解决问题的能力。

    学习要求

    1.不等式的基本性质

    掌握不等式的基本性质。

    2.含有绝对值的不等式

    理解绝对值的几何意义;会解绝对值不等式:∣axbc 、∣axb∣≥c ;了解绝对值不等式∣xc∣+∣xb∣≥a 的解法。

    理解绝对值不等式∣ab∣≤∣a∣+∣b∣。

    3.不等式的证明

    了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法;能用比较法、综合法、分析法证明简单的不等式。

    4.几个著名的不等式

    理解二元柯西不等式的几种不同形式:

    1)柯西不等式向量形式:|α||β||α?/SPAN>β|

    2a2 b2(c2 d2)(ac bd)2

    3

    (通常称作平面三角不等式)。

    掌握两个或三个正数的算术—几何平均不等式。

    5.利用不等式求最大(小)值

    会用两个或三个正数的算术—几何平均不等式、柯西不等式求一些特定函数的最值。

    6.数学归纳法与不等式

    了解数学归纳法的原理及其使用范围;会用数学归纳法证明简单的不等式。

    会用数学归纳法证明贝努利不等式:(1x)n1nxx-1n为正整数)。

    教学建议

    1.在本专题教学中教师应引导学生了解重要不等式的数学意义和背景例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景理解这些不等式的实质。

    2.代数恒等变换以及放缩法是证明不等式的常用方法在利用这些方法证明不等式时常常使用一些技巧。对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是对大多数学生来说往往很难掌握这些技巧对他们更为重要的是理解这些不等式的背景和它们所体现的数学思想。所以教学中要尽力使学生理解这些不等式以及证明的数学思想对一些技巧不做更多的要求不要把不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的技巧之中。

    3.数学归纳法是重要的数学思想方法教师应通过对一些简单问题的分析帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时常常需要进行一些代数恒等变换。教师不要选择过于技巧化的问题或习题以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。

    4.在教学解绝对值不等式时要控制难度:含未知数的绝对值不超过两个;绝对值内的关于未知数的函数主要限于一次函数。

    5.不等式证明的教学主要使学生掌握比较法、综合法、分析法其它方法如反证法、放缩法、数学归纳法只要求了解。

    6.不等式应用的教学主要是引导学生解决涉及大小比较、解不等式和最值问题其中最值问题主要是用平均不等式、柯西不等式求解。

    7.下列内容可指导学生阅读:n元柯西不等式、排序不等式、贝努利不等式。

     

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