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  • 苏教版高中数学课程标准教科书介绍
  • 作者: 来源: 时间:2006-9-3 9:06:20 阅读次 【
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                                     李善良

    一、教科书编写的指导思想和原则

    1.本教科书根据2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《标准》)编写。教科书充分体现《标准》的基本理念,以实现《标准》的课程目标为宗旨,使学生通过高中阶段的数学学习,能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养,满足他们个人发展与社会进步的需要。

    2.教科书中素材的选择充分考虑基础性、时代性、典型性、多样性和可接受性。材料丰富,涵盖生活、经验和其他学科内容等多个方面。教学内容的呈现,注意反映数学发展的规律和学生的认知规律。教科书充分创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,加强不同数学内容之间的联系,促进学生对数学知识的认识和对数学本质的理解。同时注意到数学知识的循序渐进、螺旋上升。

    3.教科书编写以学生的经验和已有知识为出发点,致力于促进学生学习方式的改进,为学生和教师的积极活动提供空间和可能。教科书通过设置具有启发性、挑战性的问题,激发学生思考与探究,促进他们主动地学习和发展。教材注意为教师的再创造留有广阔的空间,促进教学范式的转变。

    4.教科书采取多种形式体现数学的文化价值,充分体现现代信息技术与数学课程的有机整合,使现代信息技术的应用成为课程的一个重要组成部分。

    5.教科书编写始终贯彻与教学实验、实践紧密相连的原则。一方面,在收集丰富的教学实践经验基础上,集中专家、优秀教师进行初稿的编写;另一方面,对所编写的初稿以选修课等方式进行小范围的实验、跟踪,根据教师与学生的意见及时进行修改。对于新增内容(尤其是选修课程的系列3、系列4),先后在不同类型学校进行全程试教两轮之后,再形成实验教材。编写大致程序为:专家根据标准编写初稿→学校实验→收集信息→专家、教师讨论→编写组整合→再一次实验→总结修改→形成实验教材初稿。

    二、教科书编写的体系、结构

    (一)教科书的编写体系

    根据《标准》的要求,本教科书的编写体系:按知识发展顺序把整套教材分成几条主线,组合成一个有机整体。对于每一模块,充分进行模块整合,每个模块有整体贯通的主线。在模块统领下,提出各章的编写体系。在每一章的编写中,同样进行全章的整合。同时注意各章之间的联系。

    必修模块12345,选修1-11-2是一个相对完整的系统;

    必修模块12345,选修2-12-22-3是一个相对完整的系统;

    选修系列3与选修系列4既保持统一的体系,又力求体现各自的特色。

    本次送审的数学5、选修系列1-11-22-12-22-3与《标准》的相关内容基本一一对应。选修系列36个专题)、选修系列49个专题)的内容基本覆盖《标准》的要求。各册内容目录见附录。

    (二)教科书编写结构与体例

    1.必修、选修系列12的编写体例

    教科书必修模块、选修系列1、选修系列2的结构主要包括:模块、章、节、单元等,具体内容如下。

     
     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


     

    1)章、节

    章:由章头图、引言、各节内容、本章回顾、复习题、探究案例、实习作业等内容构成的整体。

    引言包括:

    ①本章的主背景,以入口较浅的生活或学生能理解的实例,引发学生思考。这个背景又是本章核心内容的原型,在一章中将多次按不同层次或方向出现,统领全章。

    ②引领本章内容的问题。这是本章的生长点、核心内容或研究方法,它将激发学生探索新知识的欲望。

    节:包括内容组织、活动开展、拓展栏目、习题、阅读等内容。

    节为教学的基本单元,每节有自己的小系统。每节开头在章的背景下,给出分支背景,围绕章的问题,提出相应问题。这些问题就是本节的起点、核心内容的出发点。

    内容组织主要形式为:

            问题情境学生活动意义建构数学理论数学运用回顾反思

    问题情境:包括实例、情景、问题、叙述等。

              意图:提出问题。

    学生活动:包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动,也包括讨论、合作、交流、互动等小组活动。

              意图:体验数学。

    意义建构:包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等。

              意图:感知数学。

    数学理论:包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等。

              意图:建立数学。

    数学运用:包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等。

              意图:运用数学。

    回顾反思:包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩(由过程到对象)等。

              意图:理解数学。

    2)拓展栏目:主要方式有思考、实验、探究、阅读、链接等,穿插在各个环节中。

    3)习题、复习题:分为紧密联系的三个层次:“感受防斫狻保八伎挤运用”,“探究吠卣埂薄?/SPAN>

    2.选修系列34的编写体例

    为适应学生个性选择需要,选修系列34的编写结构与体例为:专题--单元。具体内容如下(其中选修系列3不设总复习题):

     

     

     

     

     

     

     

     


    三、教科书的特色

    教科书的编写在以学生发展为中心的思想指导下,认真研究国内外高中阶段数学教材的编写特点,借鉴其成功经验,努力探索,大胆尝试,力求形成自己的风格与特色。

    (一)必修系列、选修系列12的编写特色

    为保证教科书的整体协调,与数学1—数学4编写一样,数学5、选修系列1-11-22-12-22-3的编写主要有以下特色。

    1.在内容处理上,力图做到“入口浅,寓意深”

     “入口浅,寓意深”是一种指导思想,目的是让学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背景中建立数学理论,获得数学理论后又能及时返回运用到他们的生活中。这种思想体现在教科书每一个环节的编写上,而不仅仅是引入部分。

    章头图给出本章核心概念或原理的直观形象。引言说明数学的来历,提出本章的核心问题或研究方法。正文建立数学理论、给出运用、研究方法。本章回顾是由厚到薄的反思过程,对全章作概括、整理、提升。

    每一个环节“入口”紧密相连,循序渐进,“寓意”不断加深。

    例如,基本初等函数Ⅰ的处理:开始给出三个背景例子(人口统计表,自由落体运动公式,温度曲线图)。通过对这三个例子的共同特征的分析,引出函数概念。进而利用这三个例子,研究函数的三种表示法,函数的性质。此后,给出函数的应用,指数函数、对数函数等。在学生获得函数的一般研究方法后,又回到开头所提出的问题中,建立模型解决问题,整个内容一气呵成。其主线是函数概念与性质,而入口是学生非常熟悉的情景。简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法,它们引出了函数的整个内容与研究方法。学生在这三个例子的反复学习中,不仅对函数概念与性质的理解不断加深,而且获得数学研究的一般方法:背景     数学       应用。

    例如,“导数的概念”的引入。首先通过引言:世界充满着变化,有些变化几乎不被人们所感觉,而有些变化却让人们发出感叹与惊呼。下面是一个案例:

    某市2004420日最高气温为33.4℃,而此前的两天,419日和418日最高气温分别为24.4℃和18.6℃,短短两天时间,气温“陡增”14.8℃,闷热中的人们无不感叹:“天气热得太快了!”

    但是,如果我们将该市2004318日最高气温3.5℃与418日最高气温18.6℃进行比较,我们发现两者温差为 15.1,甚至超过了14.8.而人们却不会发出上述感叹。这是什么原因呢?原来前者变化得“太快”,而后者变化得“缓慢”。

    进而提出问题:用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢?这样的数学模型有哪些应用?

    在此基础上提出平均变化率的概念:

    在前面的案例中,“气温陡增”的数学意义是什么呢?

    为了弄清这个问题,我们先来观察下面的气温曲线图(以318日作为第一天)。

     

     

     

     

     

     

     

     


    容易看出BC之间的曲线较AB之间的曲线更加“陡峭”。陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。如何量化陡峭程度呢?

    简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法,它们引出了导数的整个内容与研究方法。学生在导数的概念建立过程中,不仅对导数概念的理解不断加深,而且获得数学研究的一般方法:背景     数学      应用。

    每一章都有这样的“入口”素材。集合中“介绍自己”,立体几何中“长方体”、解析几何中“路面坡度”、统计中的“最高气温估计”、概率中“抛硬币”、三角中的“摩天轮”等都是与学生的生活经验紧密相连的,但其中都蕴涵着深刻的数学知识与思想方法。

    解三角形中的“测量”,数列中的“储蓄问题”,常用逻辑用语中“常见命题”,圆锥曲线中“用平面切圆锥”、推理与证明中“摸球问题”、计数原理中的“走路方法”、概率中“抛掷骰子”、统计中的“新药有效吗”等问题都是与学生的生活经验紧密相连的,但其中都蕴涵着深刻的数学知识与思想方法。

    2.在结构设计上,注重整体贯通、互相联系

    教科书编写注重整体贯通、互相联系。

    1)整体贯通

    教科书在编写时从整体出发,按知识发展、背景问题、思想方法三个纬度,将全书模块节做整体设计(这里全书指系列1或系列2),实现整体贯通。

     

    思想方法

    背景问题

    知识发展

    全书  模块        单元

     

    教科书从知识发展、背景问题、思想方法角度进行整合,使学生获得整体认识与理解。

    从知识发展角度,教科书分几条主线实现全书贯通:集合、函数、数列、不等式,导数及其应用;直线、圆、圆锥曲线;平面向量、立体几何初步、空间向量与立体几何;三角函数、平面向量、三角恒等变换,解三角形;算法初步、计数原理、统计、概率;等。

    教科书通过问题将整个内容贯通,将知识串联成一个整体。从章引言中的大问题节背景中的中问题知识单元中的小问题,让学生经历数学产生、建立、应用的全过程。整个内容呈现给学生以“树”的形象:“根”是实际背景,“干”是数学理论,“枝叶”就是数学运用。它们相互作用共同成为一个整体,在“本章回顾”中就给出整体“树”的形象。

    教科书编写时注意按相近的思想方法或研究方法进行贯通。三角函数、平面向量、空间向量、解析几何等内容中始终贯穿“形—数”转化与统一的思想方法;函数、三角函数、数列、不等式、导数等内容始终贯穿“数学建模”思想;算法、计数原理、统计、概率等内容始终贯穿着算法的思想。

    教科书编写注意模块、章、节、单元之间的贯通。

    每个模块有自己的教育目标,有贯通整个模块的研究方法。既注重知识的理解,更注重学生对一般研究方法与思想方法的掌握。编写时始终坚持:知识是为解决问题自然建立的,而不是简单被动提出的。

    数学1中,注意以集合与对应为主线,使集合与函数概念联系;使学生获得对函数的整个清晰的认识。

     

    情景           情景                  解决问题

                      提出问题             情景              

    集合概念      函数概念          特殊函数                 函数建模

                                 指数函数      对数函数  

    集合表示       函数表示    指数概念性质运算   对数概念性质运算

                               指数函数应用       对数函数应用

    集合运算 

              

           函数性质           函数应用

    数学2解析几何中始终围绕“有了曲线如何建立方程,有了方程怎样研究曲线的性质”的思想展开。这种思想不仅是处理直线与圆的方法,也是整个解析几何的一般方法。这一章和两节开头所提的问题都充分体现这种思想。

    在“数列”的编写中,先讲等差数列、等比数列,再简要研究一般数列的通项公式、数列与函数关系、递推关系等性质。这样由特殊到一般,通过具体的数列说明数列的通项公式、求和、数列与函数的关系、递推等内容,符合学生认知规律,便于掌握和运用。主要体系为:

    等差数列(概念,通项公式,与一次函数的关系,递推性质,求和);

    等比数列(概念,通项公式,与指数函数的关系,递推性质,求和);

    一般数列(通项公式,与函数的关系,递推性质)。

    在“圆锥曲线”的编写中,继续贯彻数学2中提出的“有了曲线如何建立方程,有了方程怎样研究曲线的性质”的解析几何研究思想。并将这种思想放在处理椭圆、双曲线、抛物线的每个内容上,让学生不断感受解析几何的一般研究思想方法。先通过活动,用平面切割圆锥面,从几何角度给出椭圆、双曲线、抛物线的定义。然后按照解析几何研究的统一思想方法(在数学2中已经给出,这里进一步贯穿):建立坐标系,根据几何性质建立曲线的方程,通过方程从代数角度研究曲线的性质。主要过程为:

    圆锥曲线—椭圆、双曲线、抛物线—圆锥曲线的统一定义,

    整体-----------→部分----------→整体。

    在椭圆、双曲线、抛物线研究完毕后,再给出圆锥曲线的统一定义,最后研究一般的曲线方程,使学生对解析几何的研究方法有一个整体的认识。主要过程为:

    直线与圆——圆锥曲线——曲线与方程,

    特殊---------→一般。

    每章有核心的概念、原理,有自己的主线,整个内容围绕核心概念或原理展开。从整体结构上看,章目录反映知识展开、呈现的过程;引言是向学生展开研究主题的过程(为什么);正文就是建立数学(是什么)和解决问题(干什么)的过程;本章回顾是对整个研究过程、方法作回顾、总结、反思。

    例如直线与方程一章,始终以斜率为主线,统整整个内容。具体安排为:直线的斜率,直线的方程,两条直线的平行与垂直,两条直线的交点,平面上两点间的距离,点到直线的距离。这样处理既避免了传统教材的不足,又使学生获得对解析几何处理的整体研究方法:从形到数,以数研究形。在圆的处理中,同样采取这样的方法。这样,当学生学完这部分内容后,就可以自己按照这种研究方法,独立探索其他的领域,而不是简单记忆直线方程的各种形式。

    每个节(教学单元)有实现上述思想的教学目标,围绕此目标有大致统一的体例设计:包括问题情境、数学活动、意义建构、数学理论、数学运用、回顾反思等内容。在理解数学、应用数学、探究数学方面进行了周密的安排。

    2)互相联系

    为了尽可能建立不同的数学内容之间的联系,使学生获得对数学的整体理解,教科书编写时充分考虑联系性。主要有以下一些安排。

    加强数学与“外部”的联系。教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各门学科的联系,让学生感受到数学与外部世界是息息相通,紧密相连的。

    加强数学自身的联系。主要加强不同章节内部的联系、同一模块内部的联系、不同模块之间的联系。教科书编写时注意先期学习的内容为后面学习作准备,后面的内容呼应前面的内容。在编写选修系列12时,充分考虑它们与必修模块的联系,特别是统计案例与统计初步,概率与概率初步,导数与函数,空间向量与平面向量,空间向量与立体几何等内容之间的联系。例如算法中设计抛硬币的例子、统计中设计的“数芝麻”问题都为学习概率打下伏笔。又如三角函数呼应解析几何,统计、算法呼应函数。平面向量呼应三角函数,又为三角恒等变换作准备。

    加强材料的组织和数学研究方法的联系。例如:对称性在函数奇偶性、三角函数诱导公式、立体几何性质、圆的性质等方面得到统一的体现。数形结合的研究方法在函数、解析几何初步、三角函数、向量的研究中得到统一的体现。例如数形结合的研究方法在函数、解析几何初步、三角函数、向量的研究中得到统一的体现,而在不等式、圆锥曲线、导数及其应用、数系的扩充与复数的引入等内容得到进一步的体现。

    教科书还注意思想方法、研究方法的前后“呼应”,前面在适当地方加以渗透,给学生留有早期的印象与准备,后面详细予以解决。例如在数学2中,空间图形的体积计算体现了“定积分”的思想,而到“定积分”的内容中就给予详细的解决;直线斜率有“导数”的影子,而在“导数”概念引入时,就充分考虑“以直代曲”,等等。三角函数习题中有“级数展开”的背景,“二分法”中有逼近思想,等等。

      加强教科书各栏目之间的联系,主要加强背景、内容、例题、练习、习题、复习题之间的联系;加强章背景、节背景、解决问题的背景之间的联系;加强章问题、节问题、内容呈现的问题、例题、习题中的问题之间的联系;加强章首引言提出的思想、内容展开的研究方法、解决问题中需要的方法、章回顾中的总结之间的联系。

    3.教科书给学生留有足够的空间,促进学生主动参与

    教科书创设问题情境,为学生活动提供空间。从学生熟悉的情境、具体实例引入教学内容,让学生在具体情境中通过观察、操作、探究、猜想、发现等活动感悟并获得数学概念、原理与思想方法,注重返璞归真,充分揭示数学知识的发展过程与本质。在知识的发生、发展与运用过程中,培养学生的思维能力、创新意识、应用意识。

    例如函数概念,学生通过人口统计、自由落体运动规律、一天内气温变化图等熟悉的实例的分析归纳,从中认识函数的本质特征:对于数集A中每个“输入值”,按某种法则f,唯一地对应着数集B中的一个“输出值”。例如,在引入正弦定理时,首先让学生回顾直角三角形中的边角关系,进而提出任意三角形中的问题,为学生探究活动提供空间。在推理与证明中,通过大量的案例让学生自己总结提炼有关过程与方法。

    教科书及时吸收现代认知心理学、学习理论的最新研究成果,充分考虑学生的认知起点与数学的逻辑起点的有机协调,利于学生主动参与学习。

    例如关于“算法初步”的内容。学生根据国际奥委会投票表决2008年奥运会主办城市的操作程序,写出流程图,发现算法中需要重复执行同一操作,从而学习循环结构。在知识的运用中培养思维能力。

    学习对数时,先让学生类比猜想对数性质,再呈现Excel提供的数据,让学生观察log2Mlog2Nlog2(MN)log2M log2N等之间的关系,加以比较分析,探索得出如下对数运算法则:loga(MN)=logaM logaN,再从对数定义出发加以证明。

    在“椭圆”的引入中,首先提出两个背景问题:一些实际图形象椭圆,但“它们究竟是不是椭圆?”,一些仪器是利用椭圆性质制造的,“怎样设计才能精确地制造它们?”,这样,激发学生的好奇心,产生探究的欲望,引导学生关注解析几何的两个主问题:“怎样建立方程”、“如何根据方程研究性质”,使学生的认知起点与这里的数学逻辑起点相联系,从而促进思维能力的发展。

    在学习完椭圆后,及时提出:“前面我们已经知道,椭圆上的点到两个定点距离之和等于常数,并且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 。双曲线上的点到两个定点距离之差的绝对值等于定值.那么,双曲线的标准方程是什么形式呢?”。引导学生类比提出猜想,例如双曲线标准方程可能为  。为了验证这个猜想,学生会自觉利用解析几何的研究方法来寻找双曲线的方程。

    在“导数概念”的编写中,追求建立导数概念的过程,而不过分强调形式化定义。先通过实例(体重在一段时间内的平均变化率,体积在一段时间内的平均变化率,函数在某一区间上的平均变化率)直观感知平均变化率,进一步通过学生熟悉的问题(曲线上一点的切线,瞬时速度与瞬时加速度)理解瞬时变化率,在这个过程中逐步形成导数概念的表象,最后才给出导数概念的定义。这样,当学生学完这部分内容后,就可以自己按照这种研究方法,独立探索其他的领域,而不是简单记忆导数的形式化定义及各种公式。

    教科书充分创造探究机会,促进学生主动探究。从情景到问题的提出、从问题到数学的建立、从数学到问题的解决等过程都需要进行探究才能完成。

    在内容处理上,探究以不同形式、不同层次出现。正文、思考、旁白、探究、阅读、探究性习题、探究性课题学习等,从小到大,从示范到案例,再到一般探究都作了整体设计。教科书编写注重学生参与、探究的实效,在培养学生提出问题、建构数学、解决问题方面进行有意识的引导。学生只有通过自主探究、创造性运用知识、合作交流才能完成相关课题。这将促进学生学习方式发生转变,由被动接受、死记硬背、机械训练变为自主探究、注重过程、合作交流。

    4.教科书为教师留有较为广阔的空间,促进教师创造新的教学范式

    教科书在编写时充分考虑为教师留有较为广阔的再创造空间,促进教师在教学中创造新的教学范式。

    传统高中数学教学过于重视知识传授,偏于讲授与灌输。有时也通过实例引入有关数学内容,但实际背景往往作为陪衬,学生并没有真正从中感悟、发现、建立、理解数学,更不知道数学产生的背景、建立数学的必要、如何应用数学,很少经历提出问题、解决问题的一般过程。因此,所学的数学在考试后便丢失了,没有发挥数学教育应有的价值。

    为了克服这种被动接受的教学范式,我们在编写教科书时,充分考虑学生的探究活动、解决问题过程。在为学生留有探究空间的同时,教科书也为教师留有广阔的空间,促进教师创造新的教学范式。大量的思考、探究、链接、阅读等是难以用传统教法完成的,习题中的阅读、写作、操作、调查等也只有学生自己完成。这就促使教师要改变自己的角色,从知识的传授者变为学生学习的引导者、合作者、组织者。数学教学必须为学生提供探究、合作的空间。同时,教科书提供的背景、问题示范,也激发教师要创造更多的适于本班学生学习特点的活动、内容。这套教材对教师创建新的教学范式提供了可能。

    5.教科书充分考虑学生的不同需求,为所有学生发展提供帮助,为学生的不同发展提供较大的选择空间

    为适应不同学生的需求,全套教科书根据《标准》要求,对必修系列、选修系列1234进行了整体规划,注重不同系列教材的层次性与联系性。对于必修系列教材,立足于面向所有学生,使每一个学生都获得必备的数学素养。对于选修系列教材,充分满足不同学生多种选择的需要,使不同的学生都获得最佳发展。教材统一考虑各册之间的联系,并与其他学科建立联系。

    在编写必修教材时,主要从基础性、兴趣性、层次性三个方面考虑。整个教科书设计为:一个核心,多个层次,多种选择。以基本教学要求为核心,通过这个载体,学生可以获得全方位的发展。学生学好核心内容后,根据需要,有多种选择,具体设计如下。

    1)教科书中的引言、正文、练习、习题中的“感受防斫狻辈糠帧⒃亩痢⑻骄堪咐⑹迪白饕怠⒈菊禄毓说饶谌莨钩梢桓鐾暾奶逑怠K墙炭剖榈暮诵模逑至烁咧惺Ы萄У幕疽螅撬醒Φ闭莆盏哪谌荨1嘈词保ν际顾醒寄芾斫狻?/SPAN>

    练习主要是巩固所学内容,进行模仿性的活动,有少量的变式练习。关注的是知识与技能的认识与巩固。

    习题的“感受防斫狻保攘废耙笊愿咭恍幸恍┨骄啃曰疃⒋丛煨栽擞盟У闹恫拍芙饩稣庑┪侍狻5庑┪侍獠⒎呛苣眩醒伎蓟旧隙寄芙饩觥T诮饩稣庑┪侍獾墓讨校徊礁惺苤兜男纬捎敕⒄构蹋由疃灾兜睦斫狻?/SPAN>

    2)考虑广大同学的不同需要,教科书提供了较大的选择空间。主要是设计了一些具有挑战性的内容,包括思考、探究、链接、习题中的“思考吩擞谩薄ⅰ疤骄糠拓展”等,以激发学生探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后,学生可自主选择其中一些内容作思考与探究。

    习题的“思考吩擞谩笔潜取案惺芊理解”在思维层次上要求更高的内容。要求学生通过深入的思考,运用所学的数学知识解决问题。关注的是研究方法、思想方法的运用,而不是机械模仿。

    习题的“探究吠卣埂敝饕叛塾诠睦骄俊⒋葱隆K∥侍獬浞止刈⑻骄啃浴⒋丛煨浴⒖判浴U獠糠窒疤庑问蕉嘌河写车男问剑灿胁僮鳌⒃亩痢⑿醋鳌⑿郎偷取?/SPAN>

    虽然选择空间虽然具有较大的弹性,但是这些弹性都依赖于核心内容。利用核心内容,经过努力都能解决所提出的问题。在学习时,可根据自己的兴趣作任意的选择,不会影响后继学习。

     

     

     

     

     

     

     

     


    对于选修系列1、系列2的教材,充分考虑学生的不同发展方向,保证学生的思维发展,数学应用意识的培养,注意层次性、探究性、应用性。

    6.教科书突出数学本质,返璞归真,适度形式化

    教科书努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质,让学生在充分理解概念、结论的情形下,按数学的规范要求,建立适度的形式化表达。注意自然语言与数学语言的转化,以及表象、原型对数学学习的作用。在推理方面,结合观察、实验,通过归纳推理、类比推理等建立数学猜想,而后进行验证、说理,对于《标准》要求证明的结论,再给出严格的逻辑证明。

    例如立体几何的处理。对于概念的引入采用直观描述方法,棱柱视为平面多边形在空间的平移形成的几何体,锥体视为柱体上底面退缩为一个点所成的空间几何体,球视为半圆绕直径旋转形成的几何体。以运动变化观点从直观上认识空间几何体,既符合学生认知特点,又突出数学本质。对于立几推理的设计思路为:对不要证明的判定定理,并不是简单观察,直接给出结论,而是引导学生观察、猜想、说理,从合情推理层面说明其正确性。把判定定理和性质定理教学统一起来,只在性质定理这一块给出严格证明。这一段内容的学习,把合情推理与逻辑推理融为一体,学生几乎经历了人类发现真理的全过程。在降低学习难度的同时,真正促进学生的思维发展。

    为了让学生尽早接触解析几何的核心思想,在直线方程中,把建立直线方程作为整体目标,突出用斜率处理的思想,与课标扣紧,逻辑结构紧密。△y/x既新颖又本质,可以与曲线的切线、导数等更多内容联系。圆的处理也是这样进行的。

    例如统计案例的编写。通过10个案例将统计的基础知识与思想方法介绍给学生。每个案例包括分析(解决问题的思路)、解(解决问题的过程)、概括(给出相应的理论)、讨论等,不强调从理论开始演绎。

    又如空间向量与立体几何的编写。为避免与数学2中的立体几何的简单重复,在空间向量应用这一部分,没有按线线关系、线面关系、面面关系来编写。而采用:先讲清直线的方向向量与平面的法向量两个基本内容,然后从线面关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面)的判定,空间角(包括异面直线所成的角,直线与平面所成的角、平面与平面所成的角)的计算两个方面研究空间向量在立体几何中的应用,侧重于应用向量解决立体几何问题的思想方法,而不在于简单地用空间向量把立体几何的概念、性质复述一遍。

    数学2的处理是横向的: 空间线线关系,空间线面关系,空间面面关系;

    选修2-1的处理是纵向的:方向向量与法向量,线面关系的判定,空间角的计算。

     

    数学2

    直线与直线

    直线与平面

    平面与平面

     

    位置关系,度量关系

    位置关系,度量关系

    位置关系,度量关系

    数学2-1

    方向向量、法向量

    位置关系的判定

    度量关系

     

    直线、平面

    线线、线面、面面

    线线、线面、面面

     

    这样处理的意图:既使学生自觉地回顾立体几何的基础知识,同时又使学生学会用向量处理问题的思想方法。

    再如复数的处理。在引入虚数单位把实数扩充为复数后,从代数角度将复数的四则运算一次给出,再给出复数的几何意义,最后给出复数加法与减法的几何意义,这样处理可以使学生充分理解数系的扩充过程、代数运算的意义。

    数系的扩充     复数的四则运算      复数的几何意义

    7.教科书注重现代信息技术与课程的整合

    教科书在编写时注重现代信息技术与数学课程的整合。将信息技术运用于创设问题情境中,把信息技术作为一种让学生主动探究、分析研究的工具,让学生利用信息技术进行发现、创造,同时也为学生学习和掌握信息技术提供平台,增强学生自觉地运用现代信息技术解决问题的意识和能力。

    例如:在“函数”中,以“阅读”的形式,介绍Excel作函数图象的方法,指出自变量的值用“等差趋势填充”生成,对应的函数值利用Excel的相对引用功能“拖曳”产生。操作省时省力,图象清楚、美观。

    例如:在“不等式”中,介绍Excel求解线性规划问题的一般步骤,操作省时省力,图象清楚、美观。在“统计案例”“概率”等内容中,使用信息技术带来极大的方便,例如二项分布、超几何分布、正态分布运算复杂,而借助Excel可以直接快捷运算出结果,同时通过Excel制作图表观察有关分布规律非常直观,便于课堂上引导学生开展探究活动。在矩阵与变换中运用信息技术展示有关变换的动画,有利于学生对数学的真正理解,在数列与差分中,利用信息技术快速地进行叠代,节省大量时间,使许多数学活动能够在课堂上完成。

    8.教科书努力体现数学的文化价值,提升学生的人文素养

    在编写教科书时,把数学文化定位于:让学生通过数学文化了解数学的文化价值,知道数学与人类文化息息相关;学习数学家的精神,为创造人类文明发愤学习;了解数学发展的历程,体会数学的发生、发展的过程。

    教科书在多个方面体现数学文化的整合与渗透。章头图中的画面蕴涵着数学与自然的关系,每章引言选择了数学家的名言,在正文中结合相关知识给出数学文化资料介绍,设置阅读材料介绍数学家与数学发展历史,在练习、习题中也提供多种数学文化素材。

    在体现数学文化内容时,既充分展现我国古代数学的文化成就,也介绍国外的一些数学家成就。

    (二)选修系列34的编写特色

    系列34的编写,力图体现《课标》意图,充分满足那些对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生的需求。专题的编写着眼于:有利于学生的终身发展,有利于扩展学生的数学视野,有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识,有助于学生进一步打好数学基础,提高应用意识。

    选修系列34的编写既保持必修课程、选修系列12的特色,又有自身的特点,根据系列34的目标,充分考虑学生的需求,保持趣味性、探究性、文化性。同时结合各专题的特殊性,既保持16个专题编写体例上的统一要求、统一的风格,又保证充分体现各专题内容展开的特点。

    专题编写以提高兴趣、拓宽思路、发展思维、转换观念、学会探究、学会应用、增强素养为宗旨,力求深入浅出、通俗易懂,尽可能通过学生熟悉的案例,引入数学概念、结论和思想方法,以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

    1.继续保持“入口浅,寓意深”

    在系列34的编写过程中,继续贯彻整套教材的“入口浅,寓意深”的特色,通过学生熟悉的情境,引入数学内容(包括数学理论、思想方法),并在分析和解决问题过程中,加深对数学的理解。尽量避免过度形式化,力图通过学生熟悉的语言、实例、图形等多种方式介绍有关数学内容。例如《对称与群》通过学生熟悉的大量实例,引出一般的数学概念。《矩阵与变换》从与学生生活背景紧密相连的例子,引出矩阵的概念,通过学生熟悉的几何变换引出矩阵的各种变换,让学生经历数学的建立过程。《初等数论初步》通过学生熟悉的大量的简单例子引出一般理论,使学生感悟到数学理论的产生背景与过程。《信息安全与密码》通过趣味性的故事,引出解决问题的思想方法,使学生感受到数学在解决问题过程的作用。《数学史选讲》10个专题,通过介绍基本的数学发展历程、数学家的成长经历等,使学生感受到数学的文化价值,体会到数学对人类文明发展的作用,加深对数学的理解,感受到数学家的严谨态度和锲而不舍的探究精神。

    2.既注重整体设计,又充分反映专题特点

    在进行专题编写时,力图促进学生在纵向与横向上加深对数学的理解,使学生对数学思想方法有深刻的认识,在数学思维上有较大发展,在文化素养上有一定的提升。在整体设计上,不过分注重知识的传授,而强调数学思想方法,突出探究过程,注重整体贯通,上接下联。根据各专题的内容与思想方法不同,将16个专题大致分类,在每类中有相对统一的价值追求。

    有些专题与初中数学、必修内容结合比较紧密,是必修内容的延伸与拓广。例如,《几何证明选讲》是与初中平面几何紧密相连的;《不等式证明选讲》与初中、数学5中的内容相连,又是它们的拓展延伸;《坐标系与参数方程》与解析几何的研究方法紧密相连,是解析几何的进一步延伸。在编写这些专题时,特别注意教材的前后联系与拓展,引导学生从已有的内容出发,自主探究,做适当的拓展与延伸,力求在处理问题的思想方法方面、在思维发展上获得突破。

    有些专题突出地体现了近现代的数学思想方法,如对称与群、三等分角与数域扩充、欧拉公式与闭曲面分类、矩阵与变换等;有些专题属“纯数学”的内容,如初等数论初步。这些内容能较好地反映数学理论研究的特点,但都比较抽象,中学生较难接受。在这些专题的编写中,我们尽可能地通过学生熟悉的例子,力图通过数学内部产生的有趣的问题,激发学生主动探究的欲望,通过问题的解决,建立数学理论,并进一步运用理论去解决相关的问题(有很多是实际问题)。同时注意遵照历史,突出数学发展的逻辑线索,反映有关数学理论发生发展的背景与过程,增进对数学思想和知识的理解,并让学生感受到数学发展内部的动力,感受到数学内部的美,感受理性思维的力量。

    有些专题与数学应用紧密相连,它们本身是为解决实际问题而产生的,能反映数学在解决实际问题中的应用价值例如信息安全与密码、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、风险与决策、开关电路与布尔代数、球面上的几何等。这些专题的编写,充分考虑实际背景,从生活实例引入数学内容,解决实际问题,让学生亲身经历:“实际背景—提出问题—建立数学(模型、理论、方法)—解决问题”的全过程。在学习过程中感受到现实世界中的问题对数学发展的巨大的推动作用学会应用数学建立模型、解决问题的研究方法,在应用过程中感受到数学的应用价值,深刻理解数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具,数学在社会生活中发挥着巨大的作用。

    有些专题从数学发展、数学史角度考虑,能初步展示数学的发生、发展过程,反映优秀数学家的贡献与精神,例如数学史选讲、三等分角与数域扩充等。在编写这些专题时,充分体现数学观念和数学思想的发生、发展的过程,特别注意展示数学家的献身精神与科学态度,使学生感受数学的文化价值,形成科学态度与数学理性精神。

    3.注意为学生主动学习提供空间

    作为高中数学选修课教材的专题,既不能写成理论专著,也不能写成科普读物。在进行专题编写时,充分吸收“问题情境数学活动数学理论数学运用回顾反思”的编写思想,我们根据专题特点,灵活处理,促进学生进行主动探究。

    1)通过学生熟悉的情境提出问题,引入内容

    考虑到选修34中的内容与学生的经验有一定的距离,在编写教材时特别重视选择与学生生活经验与学习经验紧密相连的实例与背景,引入相关的内容。例如从学生熟悉的整数的性质开始介绍初等数论的内容,从学生感兴趣的故事开始介绍信息安全与密码,从学生熟悉的日常生活事物开始介绍欧拉公式与闭曲面分类。

    2)突出学生的探究过程、发展过程

    在专题编写过程中,注意避免以介绍知识为主,充分关注学生的探究过程。通过恰当的问题情境,引导学生在解决问题过程中主动探究、建立猜想、验证结论、建立理论、形成思想方法。例如球面几何的编写,就通过丰富的测量、航空、卫星定位等问题,引导学生与平面几何类比,探究球面几何的有关性质,建立球面几何的有关理论。又如,矩阵与对称的编写,始终从几何变换出发,引导学生主动建立有关矩阵理论。例如优选法与实验试验设计初步与现实实际紧密相连,通过典型案例,以解决问题为线索,在解决问题过程中建立数学理论,随着问题的深入、复杂,把全部理论建立,最后解决一般问题。使学生亲身经历了整个探究、发展过程。

    3)每个专题突出学生解决问题的思想方法,不求完美的科学体系

    在进行专题编写时,特别注意突出解决问题的思想方法,而不求完整的科学体系。例如三等角与数域扩充,就突出在三等分角研究过程中的思想方法,而不过分追求群论的系统介绍。矩阵与变换的编写立足于从几何变换出发,从图形的变换直观地理解矩阵的运算,使学生认识到矩阵在解决实际问题中有着广泛的应用,而不过分追求矩阵的一般理论。又如球面几何在内容处理上淡化理论推导,强调类比的思想方法。

    4.注意学生文化素养的提升与思维的发展并进

    专题的编写始终注意学生文化素养的提升与思维的发展并进。在数学史选讲、球面上的几何、欧拉公式与闭曲面分类、三等分角与数域扩充、对称与群等专题中,始终注意数学发展的历程、数学家的追求精神,使学生在认识到数学是人类文化的有机组成部分的同时,又激发为人类文明的推进而奋斗的热情。同时在每个专题的编写过程中,注意展示数学的思想方法,注意学生思维的发展,不在于让学生知道“是什么”,关键在引导学生“怎么想”、“怎么做”,关键在于让学生经历数学的发生、发展过程。

    附录:各册内容安排

    数学1

    1  集合

      1.1集合的含义及其表示

      1.2子集、全集、补集

      1.3交集、并集

    2   函数概念与基本初等函数Ⅰ

      2.1函数的概念和图象

    函数的概念和图象

    函数的表示方法

    函数的简单性质

    映射的概念

      2.2指数函数

    分数指数幂

    指数函数

      2.3对数函数

    对数

    对数函数

    2.4幂函数

    2.5函数与方程

       二次函数与一元二次方程

       用二分法求方程的近似解

    2.6函数模型及其应用

    数学2

    3  立体几何初步

    3.1空间几何体

    棱柱、棱锥和棱台

    圆柱、圆锥、圆台和球

    中心投影和平行投影

    直观图画法

    空间图形的展开图

    柱、锥、台、球的体积

    3.2点、线、面之间的位置关系

    平面的基本性质

    空间两条直线的位置关系

    直线与平面的位置关系

    平面与平面的位置关系

    4  平面解析几何初步

    4.1直线与方程

         直线的斜率

         直线的方程

         两条直线的平行与垂直

         两条直线的交点

         平面上两点间的距离

    点到直线的距离

    4.2圆与方程

         圆的方程

         直线与圆的位置关系

         圆与圆的位置关系

    4.3空间直角坐标系

         空间直角坐标系

         空间两点间的距离

    数学3

    5   算法初步

    5.1算法的意义

    5.2流程图

    5.3基本算法语句

    5.4算法案例

    6  统计

    6.1抽样方法

    6.2总体分布的估计

    6.3总体特征数的估计

    6.4线性回归方程

    7  概率

        7.1随机事件及其概率

    7.2古典概型

    7.3几何概型

    7.4互斥事件及其发生的概率

    数学4

    8  三角函数

    8.1任意角、弧度

    8.2任意角的三角函数

    8.3三角函数的图象和性质

    9  平面向量

    9.1向量的概念及表示

    9.2向量的线性运算

    9.3向量的坐标表示

    9.4向量的数量积

    9.5向量的应用

    10   三角恒等变换

    10.1两角和与差的三角函数

    10.2二倍角的三角函数

    10.3几个三角恒等式

     

    数学5

    11  解三角形

    111正弦定理

    112余弦定理

    113正弦定理、余弦定理的应用

    12  数列

    121等差数列

    122等比数列

    123数列的进一步认识

    13  不等式

    131不等关系

    132一元二次不等式

    133二元一次不等式组与简单的线性规划问题

    134基本不等式

    选修系列1

    1-1

    1  常用逻辑用语

    11命题及其关系

    1.2简单的逻辑联结词

    1.3全称量词与存在量词

    2  圆锥曲线与方程

    21圆锥曲线

    2.2椭圆

    23双曲线

    24抛物线

    2.5圆锥曲线与方程

    3  导数及其应用

    3.1导数的概念

    32导数的运算

    33导数在研究函数中的应用

    34导数在实际生活中的应用

    1-2

    1  统计案例

    11假设检验

    1.2独立性检验

    1.3线性回归分析

    1.4聚类分析

    2  推理与证明

    2.1合情推理与演绎推理

    22直接证明与间接证明

    23公理化思想

    3  数系的扩充与复数的引入

    3.1数系的扩充

    32复数的四则运算

    33复数的几何意义

    4  框图

    4.1流程图

    5.2结构图

    选修系列2

    2-1

    1  常用逻辑用语

    11命题及其关系

    12简单的逻辑连接词

    13全称量词与存在量词

    2  圆锥曲线与方程

    21圆锥曲线

    2.2椭圆

    23双曲线

    24抛物线

    2.5圆锥曲线的统一定义

    26曲线与方程

    3  空间向量与立体几何

    3.1空间向量及其运算

    32空间向量的应用

    2-2

    1  导数及其应用

    11导数的概念

    12导数的运算

    13导数在研究函数中的应用

    1.4导数在实际生活中的应用

    1.5定积分

    2  推理与证明

    2.1合情推理与演绎推理

    22直接证明与间接证明

    23数学归纳法

    24公理化思想

    3  数系的扩充与复数的引入

    6.1数系的扩充

    32复数的四则运算

    33复数的几何意义

    2-3

    1  计数原理

    1.1两个基本原理

    1.2排列

    1.3组合

    1.4计数应用题

    1.5二项式定理

    2  概率

    21随机变量及其概率分布

    2.2超几何分布

    23独立性

    24二项分布

    25离散型随机变量的均值与方差

    26正态分布

    3  统计案例

    3.1假设检验

    32独立性检验

    33线性回归分析

    4.4聚类分析

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