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  • 高中课程标准实验教科书必修《数学3》(苏教版)教学问答
  • 作者:石志群 来源:江苏省泰州市教学研究室 时间:2009-9-4 17:40:39 阅读次 【
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    问:本书第一章中的算法与计算机程序设计是一回事吗?

    答: 一方面,本书中的算法指的是解决某类问题的机械的、统一的操作方法或步骤,它是数学中的一种重要的思想方法,另一方面,正由于其能够统一地解决某类问题,使我们可以利用计算机实现这样的算法,从而给我们带来很多便利。在表示算法时我们可以使用自然语言、流程图或伪代码,其中伪代码借用了计算机语言中的QBASIC程序语言中的一些关键词,但是,本书算法中表示算法的伪代码并不是严格的计算机程序语言,并不能直接上机运行,但它又是设计计算机程序语言的基础。要让学生了解算法与计算机程序语言的这种区别与联系。

    算法一章的教学重点是让学生充分感受算法思想,通过学生熟悉的数学、生活中的典型问题(包括我国古代的体现数学思想的数学成就),让学生经历算法的建立过程,体验算法作为解决一类问题的统一的“模式”的重要作用和价值。建立算法时,不宜过难、过繁,只要通过较简单、熟悉的背景让学生能够感受到算法的思想和价值,更不要过分追求算法语言的准确和规范。有条件的学校可以结合“信息技术”的教学,让学生设计计算机算法语言,并上机实习。

    问:循环结构是本章的难点,学习循环语句时应注意哪些问题?

    答: 第一,循环结构是用来描述多次进行相同的操作的算法步骤的一种算法结构;

    第二,循环结构有当型结构(前测试)与直到型结构(后测试)两种,前者是先判断后操作,即在满足条件时进行循环体,否则跳过循环体,后者是直接操作,然后进行判断,如果满足条件,则退出循环,否则继续循环。这两种算法结构分别可用流程图表示为:

    文本框:

    文本框:

     

     

     

     

     

    文本框: 前测试的当型循环结构文本框: 后测试的直到型循环结构

    当型循环与直到型循环是可以相互转化的。如对描述解决问题“求使12 32 52 … n2<1000成立的最大正整数n的值”的算法,用当型循环结构可以表示为下面的

    文本框:  文本框:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    左图,而用直到型循环结构则可以表示为上面的右图;

        第三,要注意输出值的确定。如上面的两种算法,为什么最后输出结果的表达式不同?这里的输出结果既与n的初始值有关,也与循环结构有关。如对于当型循环,退出循环时对应的S其实是第一个使S≥1000的那个S,而这个S值得到后又对n的值增加了2,所以,为了输出使S<1000成立的最大的n,就要将退出循环时的n的值减去4。

        为了准确写出输出的n值,可以使用“追踪法”。如上述当型循环,可以将1000改小一点,如30,即求使S<30成立的最大正整数n,可由

    S=0,n=1

    S=1,n=3;

    S=12 32=10,n=5;

    S=12 32 52=35;n=7;

    满足S<30的最大n为3,而退出循环时的n为7,故输出的结果应为7-3。

    问:统计一章的知识内容在义务教育阶段大多已经学习过了,为什么高中阶段还要重复学习这些内容?

    答: 一是为了让学生通过简单和熟悉的背景问题进一步感受统计分析的研究方法和思想方法,了解抽样分析的必要性和合理性,并对统计结果的可靠性和随机性有进一步的认识。二是通过理性分析的方法在更高的层次上感受统计量的的合理性,如对样本均值的研究,通过最小二乘的思想说明其现实意义和理论意义,而对样本方差则是从几何直观的角度说明其意义与价值。三是对加强了统计结果的估计与预测的应用的研究,反映了统计研究的应用价值。

    问:传统教材都是先学习概率,再学习统计,而且统计的理论基础是概率,为什么本教材却先讲统计,再讲概率?

    答:这两种处理方法正体现了是以学术形态,还是以教育形态呈现数学内容这样两种不同的教育观念,前者以教材的逻辑结构为目标,而后者则以认知规律为标准。另一方面,这也与统计学与概率论的思维方式有关:统计学所运用的推断方法,更多地体现了归纳的特点,而概率论所使用的研究方法则主要是从定义、假设开始的演绎推理(尽管中学阶段对此体现并不充分),并且两者之间又有着非常密切的内在联系,从认知上看,前者的归纳基础对后者的演绎推理有着很好的促进作用。按本教材的次序进行教学,可在对样本的随机性的大量感性认识的基础上,再学习概率知识。注意到新课程理念的这种转变,我们在本章设计了多个“伏笔”:P40链接:随机数表的制作;P52探究:估计黑芝麻所占百分比;P61阅读:男女出生性别比等。

    问:既然随机试验的结果具有随机性,为什么可以用频率估计概率?

    答: 第一,尽管随机试验的结果具有随机性,但其发生的概率是一个确定的常数,因为随机事件的概率是其本质、固有属性。比如,抛掷一枚质地均匀的硬币,正面向上的概率是,这一点并不随机试验的时间及进行试验操作的人选而改变。第二,随机事件的概率通过大量重复试验中其发生的频率的稳定性而表现出来,这就是偶然性与必然之间的辩证关系的数量表现。对此,有兴趣的老师可以查阅概率论中的“大数定律”,它正反映了随机事件的频率稳定性的理论依据。

    事实上,概率的统计定义(即我们教材中的定义)是一种直观的、描述性的定义,这里所谓的“在某个常数附近摆动”中的“常数”,通过具体试验(无论试验的次数如何多)是无法精确地确定的,因此,我们只能由此粗略地确定一个近似值。当然,当试验次数很大时,我们可以得到比较接近准确值的“近似值”,而在实践中,有了较高精度的近似值也就可以了。

    问:本教材为什么在学习过概率的定义后,先学习两种概率模型,再学习概率的性质(互斥事件)

    答:注意到学生在初中已经学过一些概率知识,对概率已有一定的直观感受,教材编写时充分利用了学生的知识、经验,从学生认知的最近发展区出发。如概率的统计定义,就是通过具体实例对初中的相关知识进行回顾。讲古典概型也是以学生熟悉的实例展开。教材对概率知识的呈现没有停留在直观感受的层次上,而是利用学生的这种感性认识,突出了对概率模型的形成过程的教学,在深化对概率概念的认识的同时,掌握用概率研究问题的思想和方法。

    这样处理的依据仍然是遵循学生认知和思维发展的规律:先从频率的稳定性感受概率的描述性的定义(即概率的统计定义),再通过实例(如抛掷质地均匀的硬币,正面向上的概率)让学生了解到概率是事件的固有属性,而频率仅是粗略估计概率的统计量,从面产生探求对符合一定条件的事件的概率的准确值的方法的需求;再利用学生对等可能事件的较丰富的感性经验,学习古典概型和几何概型;在对概率的认识较深刻的情况下研究互斥事件及至少有一个发生的概率等更一般的问题。

    正由于我们以适应学生的认知发展的规律作为教材设计的根本出发点,我们不仅仅介绍了概率的统计定义,而且分散地、有机地将概率的公理化定义渗透在教材之中:在P89我们利用学生在初中已有的关于概率的经验,告诉学生:对于任意一个随机事件A,其发生的概率P(A)必须满足如下基本要求:0≤P(A)P91,在给出随机事件概率的统计定义后,自然地提出必然事件和不可能事件的概率:P(Ω)=1,P(Φ)=0,并说明:这是概率的必须满足的第二个基本条件;P106,在发现互斥事件的概率的加法公式后直接说明:这是概率必须满足的第三个基本要求。这是在高观点指导下的一种设计方法,已经体现了概率是在“概率空间”下,从事件域到[01]上的函数的思想,函数的概念得到了拓展。

    问:为什么本教材没有对随机数专列一节?

    答:随机数是一个很重要的概念,计算机模拟试验就是建立在随机数的基础上的,并且有着广泛的应用。这里需要说明的是,本教材对随机数没有单立一节,而是分散处理的:在算法部分(P22例4)研究了用循环语句设计模拟抛掷硬币的试验,并用EXCEL对正面向上的频率进行了模拟;在统计部分讲抽样方法中的随机数表法时就介绍了随机数的概念,以及用抽签法、掷骰子法和计算机、计算器产生随机数,制作随机数表,让学生感受随机数的概念;在概率部分介绍了几何概型后,又用计算机模拟了撒豆试验,对π值进行估计,并运用随机数估计曲边图形的面积;在选修教材的积分部分又用蒙特卡罗试验对曲线图形的面积进行估计,再一次让学生感受到在随机数中蕴含着很多有用的信息。这样设计的原因是,随机数是一个比较抽象的概念,是教学中的一个难点内容,要一次到位是不切实际的。我们将其分散进行,并从亲自操作(制作随机数表)开始,继而进行计算机模拟,再多次、反复地应用,循环上升,认识就会逐步深入。

     

    参考文献

    [ 1 ]  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京:人民教育出版社,2003

    [ 2 ]  中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学教学大纲.北京:人民教育出版社,2002

     

     

     

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