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  • 高中课程标准分析——选修2-1
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-22 18:04:41 阅读次 【
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                                 高中新课程教学指导

    第二单元  选修22课程的定位与变化

     

    导数及其应用(约24课时)

    一、知识要求与变化

    1、整体定位

    《标准》中对导数及其应用的整体定位如下:

    “微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。”

    为了更好地理解整体定位,需要明确以下几个方面的问题:

    1)要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值。

    由于在中学阶段,学生没有学习极限,而导数又作为一种特殊的极限,我们如何处理这部分内容呢?导数及其应用在编排上更侧重于思想和概念的本质,不能把导数作为一种特殊的极限(增量比的极限)来处理,而是通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数的概念,同时加强学生对导数几何意义的认识和理解。对于定积分,也是通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景,借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念;通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。

    2)导数的运算不宜要求过高

    由于没有学习极限,因此,我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。这里,只要求学生能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数;能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(a+b))的导数。

    3)注重导数在研究函数和生活实践中的应用

    导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般,最有效的工具。这里,我们要求学生能借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值。能初步利用定积分计算几何中曲边形的面积以及物理中变速直线运动的位移和变力做功等基本问题。以及利用导数解诸如运动速度、物种繁殖、绿化面积增长率等实际问题,以及利润最大、用料最省、效率最高等优化问题。

    4)关注数学文化

    重视和学生一起收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

    2、课程标准的要求

    1)导数概念及其几何意义

        ①通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。

        ②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。

    2)导数的运算

        ①能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=的导数。

        ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(a+b))的导数。

        ③会使用导数公式表。

    3)导数在研究函数中的应用

        ①结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

        ②结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

        4)生活中的优化问题举例。

        例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。

        5)定积分与微积分基本定理

        ①通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。

        ②通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。

        6)数学文化

    收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。

    标准》对“学生通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念。”的要求是阶段性要求,“体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。”的要求是终结性要求。

    3课程标准的要求的具体化和深广度分析

    1)如何理解“导数的概念及定积分的概念”

    由于在中学阶段,学生没有学习极限,而导数和定积分又作为一种特殊的极限,如何处理这部分内容呢?标准》要求“通过实际的背景和具体应用事例—膨胀率、加速度、增长率等实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识和理解导数的概念,……通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。”

    例如:人们发现,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度H(单位:s)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:H(t)=-4.9t+6.5t+10。运动员从高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对地面的高度为H,在2秒时运动员的速度(瞬时速度)为多少?

    分析:该运动员在2秒内到21秒(记为[221])平均速度为

      

      同样,可以计算出[221][22001],的平均速度,也可以计算出[1992],[19992的平均速度。列表如下:

    由此可以看出,当时间间隔越来越小时,平均速度趋于一个常数,这一常数-13.1就可作为该运动员在2秒时的速度。

    2)如何认识“通过函数图象直观理解导数的几何意义”和“借助几何直观体会定积分的基本思想”

    即要求理解数函数f(x)x=x的导数就是函数图象上经过此点处切线的斜率这一几何意义以及定积分可以用来求曲边形的面积和直线运动物体的位移,不要求利用极限去计算导数和通过“分割、近似代替、求和、取极限”的过程求定积分。并且提高了对导数几何意义认识以及利用导数去解决问题的要求。

        例如: 国家环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果如图所示。试问哪个企业治污效果好(其中W表示治污量)。

    2-2-1

     

     

        t处,虽然,然而,所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大,因此企业甲比企业乙略好一筹。

     (3) 如何认识导数的运算

    由于没有学习极限,因此,我们不能过多地要求学生利用极限去求过于复杂的函数导数。在处理导数的计算时,首先是对于几个常见的函数“y=c,y=x,y=x,y=x,y=,y=”,用导数定义求导,然后直接给出其他基本初等函数的导数以及导数的运算法则,要求“利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则来计算导数”,特别指出“要避免过量的形式化运算练习”,当然,与选修11比较,这里要求略有提高,增加了求复合函数(仅限于形如f(a+b)的导数。我们以下列三个例子作说明。

    例如:求函数y=f(x)=x的导数

    解:因为

             =

             =2x+x

    所以

    例如:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数y=x-2x+3的导数

    解:因为

            =3x-2

    所以函数y=x-2x+3的导数是3x-2

    例如:求函数y=的导数

    解:函数y=可以看作函数y=u=-0.05x+1的复合函数。根据复合函数的求导法则有:

        =

        =-0.05e

        =-0.05

    4)如何认识“导数在研究函数中的应用”

    首先要注意导数作为一种通法的意义和作用,与初等方法相比较,导数能处理一般函数极值问题。但在中学阶段,这种要求不宜过高,《标准》中要求“借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。……导数求不超过三次的多项式函数的,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值”。其次导数是解决生活中优化问题的有力工具,应体会导数的应用价值:

    例如:有一张半径为R的磁盘,它的存储区是半径介于rR的环形区域。

    (Ⅰ)是不是r越小,磁盘的存储量越大?

    (Ⅱ)r为多少时,磁盘具有最大存储量?(最外面的磁道不存储任何信息)

    分析:存储量=磁道数×每磁道的比特数

       由于磁道之间的宽度必须大于m,而且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达,每条磁道上的比特数可达,所以,磁盘总存储量f(r)= ·=

    (Ⅰ)f(r)是关于r的一元二次函数,所以,并非r越小,磁盘的存储量越大。

    (Ⅱ)f(r)=,f(r)=0,得r=

         因此,当r<时,f(r)>0; r>时,f(r)<0.

    所以,当r=时,磁盘具有最大存储量,最大存储量为

    5)如何认识“直观了解定积分与微积分基本定理”

    这里,一个突出的问题也是:没有学习极限,如何推导微积分基本定理?《课标》中是通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。

    例如:一个物体依照sst)规律在直线上运动,我们已经知道,其在某一时刻的t0运动速度vt0)(即瞬时速度或瞬时变化率)为sst)在t0时刻的导数,即。你能分别用st)和vt)表示物体在tatb之间位置总变化吗?

    我们把区间a≤t≤b分割成个小区间,不妨假设小区间的长度相等,其长度为Δt。对每一个小区间,我们假设st)的变化率近似为某一常量,于是我们可以说

    Δs≈s(t)的变化率×时间

      在第一个小区间内,即从t0t1,假设st)的变化率近似地为s′(t0),于是有

      同样,在第二个小区间,即从t1t2,假设st)的变化率近似地为s′(t1),因此有

    等等。把所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起,得到

      我们可以把st)在t0atnb之间位置的总变化写成sb)-sa)。另一方面,当分割无限加细,n趋于无限时,和式

    的极限就是定积分,也就是st)在tatb之间位置的总变化。于是,我们可得到以下结论:

    也就是说,变化率的定积分给出了总的变化。

      特别地,当物体作匀速运动时,即vt≡v时,

    当物体作匀加速运动时,即vt)=at(其中a是常数)时,

      一般地,如果ft)是连续函数,并且ft)=F′(t),那么

      这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明,但是,它反映了微积分基本定理的基本思想,反映了微分(导数)与积分的联系。

    6)如何认识“数学文化”

    《标准》设置了数学探究”“数学建模数学文化等新的学习活动。在教学中,我们把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中,并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例,帮助学生设计自己的学习活动,完成课题作业或专题总结报告。例如:在导数及其应用中,可以准备《图形技术及其应用》和《曲边梯形的面积》等两次信息技术应用,让学生结合所学习的知识,利用计数器、计算机软件的强大的图形技术,对抽象的数学知识进行直观验证,帮助学生提高获取技能和经验的能力,提高思维能力和理解能力,培养学生的学习主动性;介绍了牛顿法——《用导数方法求方程的近似解》,使学生从文化鉴赏的角度去了解人类从数学的角度认识客观世界的过程及研究数学的方法;安排一次实习作业——《走进微积分》,使学生了解微积分创立的背景、过程、历史意义、应用和其在数学思想史及科学思想史上的价值。这样安排,是希望学生从文化的角度了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用,体会数学的科学价值、应用价值、人文价值,开阔视野,寻求数学进步的历史轨迹,激发学生对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高自身的文化素养和创新意识。 

    4、教学要求

    1)、课程标准与教学大纲的对比说明

    《标准》的内容与要求

    《大纲》的教学目标

    导数概念及其几何意义

    通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵。

    了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等);掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念。

    通过函数图象直观地理解导数的几何意义。

    导数的运算

    能根据导数定义求函数

    的导数。

    熟记基本导数公式(c,xm为有理数),sinx, cosx, e,a, lnx, logx的导数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则,会求某些简单函数的导数。

    能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(a+b))的导数。

    会使用导数公式表。

     

    dy=y'dx),了解函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值,会求某些简单函数的微分。

    导数在研究函数中的应用

    结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

    会从几何直观了解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

    结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值;体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

    生活中的优化问题举例

    例如,通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用。

    定积分与微积分基本定理

    通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念。

    了解定积分概念的某些实际背景(如变速直线运动的路程,曲边梯形的面积等);了解定积分的定义和定积分的几何意义;知道函数连续是定积分存在的充分条件。

    理解定积分的简单性质(线性性质和对区间的可加性);了解微积分基本公式(牛顿-莱布尼兹公式),会用它来求一些函数的定积分。

    掌握原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的线性性质;熟记基本积分公式(c,xmm为有理数),sin x, cosx,e,a的积分);会利用线性性质和基本积分公式求较简单的函数的不定积分。

    会用定积分求一些平面图形的面积、旋转体的体积、变速直线运动的路程、变力所作的功。

    通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义。

    数学

    文化

    收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本标准中“数学文化”的要求。

    通过微积分初步的教学,了解微积分学产生的时代背景和历史意义,进行客观事物相互制约、相互转化、对立统一的辩证关系等观点的教育。

    在具体内容要求上,《标准》与《大纲》的区别:

    ①《标准》中这部分内容是选修内容,《大纲》要求为必修内容。

    ②《标准》中是在学生没有学习极限的情况下,“通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数”,而《大纲》中,理科学生是已经学习了函数的极限,进而学习导数。因此,要注意新课程在内容上变化而带来教学上的变化。

    ③与《大纲》相比,《标准》中减少了“函数连续是定积分存在的充分条件,微分。”等知识点,增加了“生活中的优化问题举例,数学文化。”等内容

    2)教学要求

    善于创设情景,合理选取素材

    为了帮助学生构建和发展认知结构,教学上必须根据学生的实际情况关注学生的感受、体验和思考。积极鼓励学生的情感参与、思维参与、和行为参与,通过同化和顺应等心理活动和变化,使学生不断构建和完善认知结构,把客观的数学知识内化为学生自己的认知结构中成分。例如,在《变化率与导数》的教学中,要根据具体情况,多创设了一些具体情景,如气球膨胀率、国民经济增长率、温度的瞬时变化率等问题,帮助学生认识变化率,认识平均变化率和瞬时变化率的区别和联系,理解导数就是对事物变化快慢的一种描述,进一步研究函数的单调性和解决极大极小、最大最小以及生活中优化问题。按照这种思路教学,能充分体现了导数应用价值,使学生在理解导数应用的广泛性的同时,也能对极限思想有更深的认识,为他们将来进一步学习其它形式的极限和理解极限的理论做一定的铺垫。

    重视知识间的联系,激励学生探究

    数学是一门系统性很强的学科,知识间的内在联系十分紧密,任何新知识或者因为某种需要而产生,或者因为某种需要,要将原有知识进行延伸和发展。所以,任何新知识都有它的发生、形成和发展过程。教学中,如果压缩掉这种过程,就知识教知识,那么学生只能得到零散的、孤立的知识,只知其然,而不知其所以然,只能是知识的积累,而不能使学生原有的知识结构得到扩充和改造。新课程重视知识的这种发生、形成和发展过程的教学,让学生在积极参与的过程中,充分发挥他们的学习主体作用,使知识很好地内化,使认知结构发生质的变化。例如《微积分基本定理》,这里不需要非常严格的证明,而是通过具体的事例(变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),让学生直观了解微积分基本定理的含义,它反映了微积分基本定理的基本思想,反映了微分(导数)与积分的联系。

    ③淡化计算,重视应用

    见前面的论述。

    渗透数学文化,体现人文精神

    在教学中,我们把这些活动恰当地穿插安排在有关的教学内容中,并注意提供相关的推荐课题、背景材料和示范案例,帮助学生设计自己的学习活动,完成课题作业或专题总结报告。激发学生对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高学生的文化素养和创新意识。

    二、重点和难点:

    1、重点、难点的分析

    (1)重点和难点确定的依据:

    导数及微积分概念的引入,一般是通过极限来完成的,然而,建立比较系统的极限理论,在中学没有必要,也会给高校教学带来重复。因此,应该防止将导数和微积分仅仅作为极限一些规则和步骤来学习,而忽视它的思想和应用价值。当需要涉及极限时,只要直观认识即可,而大学里还是从极限、连续性讲起。这样,中学的铺垫,对大学的学习有利,同时也为不上大学的人提供进一步认识变量思想的机会,接受辩证唯物主义思想的熏陶。因此,在教学中需要将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,让学生理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值。

    2)导数的概念及其应用的重点和难点:

    ①导数是高等数学的基础,是微积分的核心概念之一,是对函数图象和性质的总结和拓展,也是研究函数的单调性、极值等性质的有力工具;同时导数来源于实际,又服务于实际,利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题。因此导数的概念、运算及其应用是重点。

    ②由于导数可以描述任何事物的瞬时变化率,而瞬时变化率又是借助于极限的思想来刻画,学生对极限思想的认识是初步的,这使得学生准确理解导数的概念,体会导数思想及其丰富内涵需要一个过程。同时利用导数解决优化问题的过程是一个典型的数学建摸过程,这体现了与社会热点、生产生活、科技前沿之间的联系。因此对导数概念的理解及导数思想方法的应用,对定积分的定义、思想方法的认识等是难点。

    2、重点、难点的教学案例

    为了说明我们在教学中突出重点,突破难点,我们收集了下列典型案例作说明(以人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著的教材《数学选修22》作为下列案例的说明对象):

    《导数的几何意义》课堂教学片段案例:

    问题

    问题设计意图

    师生活动

    问题1:函数fx)在处的导数的意义是什么?能否用图象表示导数

    让学生明确导数表示函数fx)在处的瞬时变化率,反映了函数  fx)在附近的变化情况。联想瞬时变化率与直线斜率表达式的关系。

    师:提出问题1,板书导数的表达式。

    生:思考导数的表达式的几何意义。

    师:导数的表达式中有动态的过程,如果让它定格,会使我们联想到哪些知识?

    问题2:当点沿着曲线fx)趋近于点时,割线的变化趋势是什么?

    让学生经历并发现导数的几何意义,体会导数思想。

     

    师:利用电脑演示割线的动态变化效果。

    生:观察割线的变化趋势。

    师:给出过点P的切线PT的定义,比较此处切线的定义与以前学过的切线的定义有什么不同?

    生:独立思考与互相交流。

    师:比较割线与切线PT的斜率,当点无限接近点P时,能否解释导数的几何意义?

    问题3:怎样理解在点P附近,曲线fx)可以用过点p的切线PT近似代替?

    让学生体会微积分中的思想方法——以直代曲。

    师:联想以前学过的用圆的内接正多边形面积逼近圆的面积的方法,数学中经常用简单的对象刻画复杂的对象。

    问题4:怎样描述、比较已知曲线fx)在某些点附近的变化情况?

    让学生明确函数在某些点附近的变化情况实质就是通过该点处的切线的斜率的变化(即导数的变化)来刻画。

    生:阅读例2,思考问题实质。

    师:通过形数的结合,引导学生思考切线的斜率的取值会使曲线有怎样的升降变化以及升降快慢的情况?

    问题5:怎样估计已知曲线fx)上某些点处的瞬时变化率?

    让学生明确求瞬时变化率就是求导数,并加深对导数概念的体会与理解。

    生:阅读例3,思考问题的实质。

    师:引导学生根据导数的几何意义或定义自我总结求函数处的导数的基本步骤,

    并给出导函数(简称导数)的定义。

     

    《导数在研究函数中的应用(一)》课堂教学片段案例:

    问题

    问题设计意图

    师生活动

    1、问题1:运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?

    使学生从图象上感知函数的单调性与导数的关系。

    师:投影跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)的图象和运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)

    (即)的图象。

    生:观察两个图象的变化趋势,思考问题1。

    2、由问题1,运动员的瞬时速度v(t),即的正负对应着函数h(t)的单调性,这种情况是否具有一般性呢?

    使学生通过自主探讨得出一般的结论,培养独立思考的能力和合作精神。

    师:导数的几何义意是什么?函数的单调性与其导函数正负有没有联系?

    生:小组合作探讨四个函数()的单调性与其导函数正负的关系。

    师:巡视释疑

    3、思考:从函数单调性定义的角度看,某个区间上函数的平均变化率的几何意义与其导数正负有怎样的关系呢?

    深化导数的几何意义,使学生从数与形两方面理解导数的正负影响函数的单调性。

    生:尝试对合作探讨的结果叙述。

    师:补充说明利用导函数判断函数的单调性的法则。

    师:根据这一结论能否由导函数的信息推测原函数的信息呢?

    4、例1已知导函数的下列信息:

    时,

    时,

    当x=4或x=1时,,试画出函数图象的大致形状。

    使学生掌握利用导数判断函数单调性的法则的初步应用,重视数与形的结合思想。

    师:在区间(1,4)上,因为,所以的图象单调递减,请问在的图象单调性会怎样?在上呢?

    生:完成练习中第2

    题。注意导数的几何意义的应用。

    5、例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:

    1

    2

    3

    4

    使学生掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤,体会导数方法判断的优越性,培养学生的归纳概括能力与数形结合的思想。

    生:阅读例2的(1)、(2)小题,尝试解决(3)、(4)、(5)小题。

    师:能否根据判断的结果画出函数的大致图象吗?比较直接根据函数单调性定义判断的方法求解,你有何体会?

    师生共同总结利用导数判断函数单调性的一般步骤:(1)求,(2)在函数的定义域内解不等式(3)根据(2)的结果确定函数的单调区间。

    6、例3如图(图略)水以恒速注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。

    让学生体会导数是形与数合为一体的重要的数学概念,隐含着数形结合的思想,是研究函数图象性质中和解决实际问题的有力工具。

    师:引导学生观察容器的水的高度分别在开始、中间、最后阶段高度增加的快慢。

    生:思考从函数图象上怎样看出水的高度增加的快慢?

    师:从导数的角度又怎样解释增加快慢的情况?

    师:总结函数在某个范围内变化的快慢和这个范围内导数的绝对值大小相关。

     

    《定积分的概念》课堂教学片段案例:

    问题

    问题设计意图

    师生活动

    1、求曲边梯形面积和求变速直线运动路程的过程可分为哪几步?

     

    让学生了解定积分产生的背景,数学概念的产生往往是为了解决实际问题。

    师:回放求曲边梯形面积和求变速直线运动路程的演示过程。

    生:通过对比这两个过程发现什么共同特点?

    2、给出定积分的定义,记法,和各部分符号的含义。

     

     

     

     

     

    让学生了解定积分的概念中隐含有“分割、近似代替、求和、取极限”这一思想。

    师:在几何与物理中许多问题都可通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决,你在定积分的定义中是否发现这种想法呢?

    3、例1 利用定积分的定义,计算的值。

    4、由定积分的定义推出定积分的性质:

     =

    (3)

    (a<c<b)

    加深学生对定积分概念的理解

    师:引导学生总结利用定积分的定义计算的步骤。生:尝试根据定积分的定义独立推导定积分的性质。

    生:思考定积分是一个常数吗?试说出它的几何意义是什么?

    5、分析定积分的几何意义:

    时,在图形上体现为由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积。

    让学生了解定积分的几何意义。

    生:思考在定积分的几何意义中,为什么要限制呢?师:若时,的几何意义是什么?

    4、根据定积分的几何意义,你能否用定积分表示下图阴影部分的面积吗?

     

     
     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     


    2-2-2

     

    让学生了解定积分的几何意义的应用。

    师:请大家思考阴影部分的面积如何才能用定积分表示呢?也就是用曲边梯形的面积表示阴影部分的面积?

     

     

    推理与证明(约8课时)

    一、知识要求与变化

    1、整体定位

    标准中对推理与证明的整体定位如下:

    “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论。在本模块中,学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯。

    为了更好地理解整体定位,需要明确以下几个方面的问题:

    (1)一般说来,归纳推理在数学创造活动中发现真理的过程可用框图表示如下

    类比推理在数学创造活动中发现真理的过程可用框图表示如下:

    《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”,因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程,发展学生的探究和创新精神。

    2)对于合情推理演绎推理,要通过具体实例理解合情推理与演绎推理,不追求对概念的抽象表述。块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结,《标准》要求仅限于结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义……,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理,因此,应结合教材提供的具体实例组织教学,补充的实例也应以已经学过的数学实例和生活中的实例为准,对证明的问题的难度也要加以控制。

    3)结合已经学过的数学实例,让学生了解直接证明和间接证明的思考过程、特点.

     

    直接证明

    间接证明

    综合法

    分析法

    反证法

    思路过程

    见人教版教材P45的框图

    见人教版教材P48的框图

    否定之否定等于肯定

       

    由因导果,即从已知看可知,再逐步推向未知

    由果索因,即从未知看需知,再逐步靠近已知

    否定结论;推理论证;导出矛盾;肯定结论

    标准》对“了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理;了解直接证明的两种基本方法和间接证明的一种方法;了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。”的要求是阶段性要求,“体会并认识合情推理在数学发现中的作用,感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯。”的要求是终结性要求。

    2、课程标准的要求

    1)合情推理与演绎推理

    了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

    体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理.

    了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别.

    2)直接证明与间接证明

    了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法与综合法的思考过程与特点.②了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程与特点.

    3)数学归纳法

    了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

    4)数学文化

    ①通过对实例的介绍(如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想。

    ②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

    3课程标准的要求的具体化和深广度分析

    1)如何认识“了解合情推理的含义”

    对合情推理的含义的认识是指通过对具体实例的推理过程的分析、体会,概括出合情推理的描述性定义和常用的归纳和类比的思维方法。

    例如:哥德巴赫把在数学研究中观察到的3+7=103+17=2013+17=30式子在形式上改写成:10=3+720=3+1730=13=17,发现了规律:偶数=奇质数+奇质数,于是他产生了一个想法: 102030都是偶数,那么其他的偶数是否也有类似的规律呢?他进行了特例的验证,概括出特例的规律特征,提出了猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这个猜想的提出过程就是运用了经历由部分到整体、由个别到一般的归纳推理过程。

    又如:在研究球体时,类比圆,发现球存在一些与圆类似的特征(如都具有完美的对称性,都是到定点的距离为定长的点集),因此我们推测对于圆的特征,球也可能具有。如由圆有切线推测球有切面等等。这种推理过程是由两类对象所具有的类似特征,由其中一类对象具有的某些已知特征推测另一类对象也具有这些特征,是由特殊到特殊的类比推理过程。

    2)如何认识“能利用归纳和类比等进行简单的推理及体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义

    “能利用归纳和类比等进行简单的推理”是指:对给定的具体问题,能够通过计算、分析、比较、概括、推广、归纳、观察、推测、类比等手段或方法完成简单的推理。

    例如:已知数列的第1,且

    试归纳出数列的通项公式。可以先根据已知的递推公式,算出数列的前几项,观察数列的前几项和序号的关系,找出规律和共同特点,归纳出数列的通项公式。

    “体会并认识合情推理在数学发现中的作用”的含义是指体会并认识合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用;例如欧拉公式的发现就是在探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系时,运用合情推理发现的。

    3)如何认识“体会演绎推理的重要性”的含义

    演绎推理具有证明结论,整理和建构知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法,广泛应用于自然科学、社会科学领域。例如,牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》中,以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系。

    4)如何认识“掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理”的含义

    演绎推理是由一般到特殊的推理,“三段论”是演绎推理的一般模式。在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。能够运用演绎推理的“三段论”的思维模式证明数学问题,获得数学结论。

    例如:证明函数上是增函数。大前提是增函数的定义,小前提是满足增函数的定义,于是根据演绎推理的“三段论”,得上是增函数。

    5)如何认识“了解合情推理与演绎推理的之间的联系与差别”的含义

    归纳和类比是常用的合情推理。从推理形式上看,归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理,类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得结论看,合情推理的结论仅是猜想,未必可靠,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确。合情推理与演绎推理都是认识世界的过程中需要的重要的思维方式,两者紧密联系、相辅相成。

    6)如何认识“了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法与综合法的思考过程与特点.”的含义

    “了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法与综合法的思考过程与特点”是指通过实例,对已学过的数学知识的证明方法的思考过程与特点进行分析与概括,即:综合法是“顺推证法或是由因导果法”,分析法是“逆推证法或执果索因法”;并归纳出操作的流程框图,使得在以后的学习和生活中能自觉地、有意识地运用这些方法进行数学证明。

    例如:已知,求证

    证明:

    所以

    又因为

    所以

    因此

    在这个证明的过程中,就是利用已知条件、基本不等式()和不等式性质推导出结论的,这种证明思路是综合法的证明思路。用P表示已知条件、已有定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,即可用框图表示综合法的证明思路为:

     

     


    7)如何认识“了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程与特点.”的含义

    “了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程与特点.”是指要明白反证法的适用情形和使用的逻辑规则,特别是明确应用逆向思维,推出与已知条件或假设或定义、公理、定理、事实等矛盾是反证法的思考过程的特点。

    例如:在“求证是无理数”的证明中,直接证明是无理数较困难,可应用逆向思维:假设不是无理数,那么它就是有理数,就可写成形如的形式,从而。怎样得出矛盾?考虑“是互质的正整数”,通过奇偶数分析,因此,所以m为偶数,于是可设是正整数),从而有,即,所以n为偶数。这与mn互质矛盾。所以假设错误,从而是无理数。

    8如何认识“了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”的含义

    “了解数学归纳法的原理”的含义是指了解数学归纳法的适用范围,明确数学归纳法的两个步骤(“归纳奠基”和“归纳递推”)的作用和用数学归纳法证明时,只有把两个步骤的结论结合起来,才能判断对所有自然数都成立,两个步骤是缺一不可的。

    “能用数学归纳法证明一些简单的数学命题”的含义是指正确使用数学归纳法证明数学命题,特别是在第二步证明时,必须使用假设推出结论,即:

    由 “n=k时命题成立”   n=k+1时命题也成立”

    才能得出递推关系,从而完成证明。

    例如:用数学归纳法证明的第二步骤中:假设当n=k时等式成立,即

    那么,

    即当n=k+1时等式成立。

    这里不是直接将n=k+1代入命题的, 而是由“n=k时命题成立”推出了“n=k+1时命题也成立”,得出递推关系,从而完成证明的。

    9如何认识“体会公理化思想” 的含义

    体会公理化思想” 的含义是指通过介绍实例(如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),使学生了解数学知识的产生和发展过程,体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用,进而发展学生的探究和创新精神。

    4、教学要求

    恰当创设情境,促进学生的自主探索

    合情推理并非盲目的、漫无边际的胡乱猜想,它是以数学中某些已知事实为基础,通过选择恰当的复习结构材料创设情境,引导学生观察。体现知识的发生发展过程,促进学生的自主探索。并尽量将学生所熟悉的知识,通过归纳、类比的思想,逐步推广到未知的的知识领域。中学数学教学实践中,通过恰当创设情境,引导学生观察;精心设计实验,激发学生思维;仔细设计问题,激发学生猜想;利用类比探讨,加深知识理解;利用数学归纳,巩固特殊到一般思维;利用演绎证题,揭露蕴涵性质等渐进地培养学生的数学思维意识和合情推理能力。

    2-2-4

    例:类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想。

    2-2-3


    考虑到直角三角形的两边互相垂直,所以我们选取有三个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象。如上图:

    让学生分析比较:

    RtABC

    四面体P-DEF

    两边交成1个直角

    3个面在一个顶点处构成3个直二面角

    直角边a,b

    DEFFPDDPE的面积SSS

    斜边c

    PEF的面积S

    c=a+b

    S= S+ S+ S

    推测出结论:S= S+ S+ S

    再用综合法证明。体现出由推理到证明探究的完整过程。

    ②教学中要让学生感受探究的过程

    通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程,让学生真实地感受到数学的创造过程与任何其它学科的创造过程是一样的,它同样需要经历观察、试验、归纳结论,最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理的思维过程

    例如:关于凸多面体的欧拉公式:任意凸多面体的顶点(V)、面(F)、棱(E)、之间有关系式:V+F-E=2的探究思路。
      数学家欧拉通过观察一些特殊的多面体,在1750年发现了关于凸多面体的欧拉公式,后来又给出了证明。约在1635年数学家笛卡尔也早已发现了它,但由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现,所以这个定理就称为欧拉公式。

    归纳推理过程:
      (1)若将立方体、三棱柱、五棱柱、四棱锥、三棱锥、五棱锥、八面体、塔顶体(正方体上放一个四棱锥、截角立方体),将每个多面体的面数(F)顶点数(V)棱数(E)数出来,并列成表

    多面体

    面数(F

    顶点数(V

    棱数(E

    三棱锥

    4

    4

    6

    四棱锥

    5

    5

    8

    三棱柱

    5

    6

    9

    五棱柱

    6

    6

    10

    立方体

    6

    8

    12

    八面体

    8

    6

    12

    五棱柱

    7

    10

    15

    截角立方体

    7

    10

    15

    塔顶体

    9

    9

    16

    二十面体

    20

    12

    30

    十二面体

    12

    20

    30

    根据上表中的数据运用合情推理就可得出猜想:任意凸多面体的面、顶、棱数满足V+F-E=2

    根据实际情况,再选择是否和学生一起证明。

    ③重视数学文化,让学生感受演绎推理,初步体会公理化方法

    中学数学教材基本是以演绎推理作为主要推理形式,运用最普遍的是“三段论”式的结构,它由两个前提(分别称之为大前提、小前提)和一个结论构成。大前提是具有一般性的原理,如已知的公理、定理、定义、性质等;小前提是包含在大前提所指事物的特殊事物,如命题中给出的已知条件;结论是根据两个前提推出的判断。其模式为:

    大前提:MP

    小前提:SM

      : SP

    尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法。

    为了让学生初步体会公理化方法,,在教学中一定要重视实例(如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律)的作用,使学生了解数学知识的产生和发展过程,体会公理化思想的发展及对科学发现、社会进步等的作用。

    二、重点和难点:

    1、重点、难点的分析

    (1)、重点和难点确定的依据:

    新课程内容的呈现,更加注意了反映数学发展的规律,以及人们的认识规律,体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。长期以来,中学数学教学一直强调教学的严谨性,过分渲染逻辑推理的重要性而忽视了生动活泼的合情推理,使人们误认为数学就是一门纯粹的演绎科学。事实上,数学发展史中的每一个重要的发现,除演绎推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等的发现。其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设,再经过演绎推理或实验得到的。严格的数学推理以演绎推理为基础,而数学结论的得出及其证明过程是靠合情推理才得以发现的。因此,我们不仅要培养学生演绎推理能力,而且要培养学生合情推理能力。《标准》要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。”也就是要求学生在获得数学结论时要经历合情推理到演绎推理的过程。合情推理的实质是“发现---猜想---证明”,因而关注合情推理能力的培养实际上就是希望教师能够重视数学知识的产生和发展过程,发展学生的探究和创新精神。

    (2) 推理与证明的重点与难点

    ①推理与证明贯穿于高中数学的整个体系,它的系统学习是新课标教材的一个亮点,是对以前所学知识与方法的总结、归纳,并对后继学习起到引领的作用。

    ②合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用;演绎推理则具有证明结论,整理和建构知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法。两者紧密联系、相辅相成,它们的学习有利于培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力,形成和发展理性思维,使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用,体会证明的功能和特点及在数学和生活中的作用,养成言之有理、论之有据的习惯。因此准确把握概念,理解合情推理、演绎推理的联系与区别,理解直接证明与间接证明的方法和步骤是重点。

    ③如何通过对命题进行观察、比较、分析、类比、归纳,运用适当的证明方法对命题给予证明是难点。

    2、重点、难点的教学案例

    为了说明我们在教学中突出重点,突破难点,我们收集了下列典型案例作说明(以人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著的教材《数学选修22》作为下列案例的说明对象):

    《合情推理》课堂教学片段案例:

    问题

    问题设计意图

    师生活动

    1、引例:回顾著名的哥德巴赫提出猜想的过程。

    2、问题1哥德巴赫提出猜想的推理过程怎样概述?

    3、得出归纳推理(简称归纳)的概念。

    让学生体会推理活动不仅存在于日常活动,而且数学问题的解决更离不开推理。

    生:阅读课本,思考老师所提出的问题,并用自己的语言表述。

    师:在生活中你是否有过类似的体会?结合例子说明。

    4、用归纳推理分析例1

    让学生尝试问题解决的快乐,增强自信心。

    生:自己阅读解决例1,注意体会归纳推理过程中的思维活动。

    师:巡视释疑。

    5、问题2思考在人们的创造发明活动时常应用的类比思想中含有怎样的推理过程?

    让学生体会类比推理思想是创造发明活动的火花,是创新思维的灵感。

    生:阅读课本,思考老师所提出的问题。

    师:你是否有过类似的体会?结合例子说明

    6、问题3探究怎样类比圆的特征得出球的相关特征?

    使学生加深体会类比推理思想。

    生:思考老师所提出的问题,尝试解决。

    师:巡视释疑,引导学生体会类比推理与归纳推理的不同思路特征。

    7、例2:类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质。

    使学生对两类类比对象的相似的性质进行比较。

    师:引导学生从运算结果及运算率的角度分析实数的加法和乘法的运算性质的实质。

    8、探究:你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象?

    9、例3类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想。

    使学生感知如何根据事物的特征确定类比对象,培养学生的创新思维能力。

    师:引导学生从围成四面体的几何元素的数目、位置关系、度量等不同的角度确定类比对象。

    生:尝试解决例3,并思考在问题解决中的类比的基本原则。

    10、师生一起总结概括前面所进行的推理过程:从具体问题出发      观察、分析、比较、联想       归纳、类比      提出猜想

    11、概括合情推理的概念

    使学生明确合情                     推理进行的一般环节。

     

    生:结合前面例子和自我体会概括合情推理的过程。

    师:补充完善合情推理的概念及其步骤。

     

    12、合情推理的应用:

    学生阅读例4

     

    使学生理解合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法,但由合情推理所获得的结论仅是猜想,未必可靠。

    生:阅读例4

    师:巡视释疑

    师:由合情推理所获得的结论是否一定可靠? 

     

    数系的扩充与复数的引入(约4课时)

    一、知识要求与变化

    1、整体定位

    《标准》中对的数系的扩充与复数的引入整体定位如下:

    数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生发展的客观需求和背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。在本模块中,学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会人类理性思维在数系扩充中的作用。 

    为了更好地理解整体定位,需要明确以下几个方面的问题:

    1)应注意避免繁琐的计算与技巧训练。

    《标准》只要求“能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。”因此,应注意避免繁琐的计算与技巧训练,对于感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容,如求x=1的根、介绍代数基本定理。

    2)注意体现实际实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

    2、课程标准的要求

    1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

    2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

    3)了解复数的代数表示法及其几何意义。

    4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

    标准》中对“在问题情境中了解数系的扩充过程,理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件,了解复数的代数表示法及其几何意义。能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。”的要求为阶段性要求。“体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系,以及数系扩充过程中数系结构和运算性质的变化。”为终结性要求。

    3课程标准的要求的具体化和深广度分析

    (1)如何认识“在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用”的含义

    主要是指数系的扩充是实际需求与数学内部的矛盾引起,例如:方程在实数集中没有根,如果希望方程有解,该如何设想呢?需要对数集做哪些规定呢?

    2如何认识“理解复数的基本概念以及了解复数的代数表示法”的含义

    理解复数的基本概念”的含义是指对复数不仅要从代数形式认识,而且要从复数与实数的关系上认识。

    3)如何认识“理解复数相等的充要条件”的含义

    “理解复数相等的充要条件”的含义是指要懂得判断两个复数相等,而且懂得利用复数相等的条件解方程组。

    例如:已知方程,求适合方程的实数

    4如何认识“了解复数的几何意义”的含义

    了解复数的几何意义”是指明确复数的实质是一对有序实数对,进而与复平面内的点对应,与向量对应,从而使复数也有其形,并能观其形思其数。

    5如何认识“能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义”的含义

    能进行复数代数形式的四则运算”的含义是指掌握复数代数形式的四则运算的法则和运算率;

    “了解复数代数形式的加、减运算的几何意义”的含义是指类比向量的加、减运算的几何意义理解复数代数形式的加、减运算的几何意义,并由数形结合的思想应用其几何意义。例如:

    如图的向量对应的复数是z

    试作出对应的复数。

     

     

     
     

    2-2-5

     

     


    4、教学要求

    1)《标准》与《大纲》的对比与说明

    《标准》的内容与要求

    《大纲》的教学目标

    (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

    2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

    3)了解复数的代数表示法及其几何意义。

    1)了解引进复数的必要性;理解复数的有关概念;掌握复数的代数表示及几何意义。

    4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

    2)掌握复数代数形式的运算法则,能进行复数代数形式的加减乘除运算。

     

    3)了解数系从自然数到有理数到实数再到复数扩充的基本思想。

    在具体内容的要求上,标准与大纲要求的区别如下:

    ①标准中这部分内容是选修内容,大纲要求为必修内容。且二者对文理要求上都是相同的。

    ②与《教学大纲》相比,《标准》中删去了复数的三角形式,复数三角形式的乘法、除法、除法、开方等内容。并且要求“注意避免繁琐的计算与技巧训练。”但“对于感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容。”在知识点上,《标准》有更大的弹性空间。

    2)教学要求

    渗透数学文化,体现人文精神

    让学生在问题情境中了解数系的扩充过程,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。并非数学向前发展的每一步,都需要生产实践的直接推动。数系的扩充,既是由于社会实践的推动,又符合算术、几何、代数这些数学学科理论发展的要求。它不是随随便便,想怎么扩充就怎么扩充的。过去是这样,将来也必然是这样。从数系扩充的历史过程中,我们一方面看到,数学从实践中吸取营养而发展,反过来又解决了实践提出的问题;另一方面看到,几何和代数的知识是互相联系,并且互相促进的。我们要学好数学,不仅要注意实践中的数学问题,而且要注意代数、几何不同学科间的相互关联。简言之,有的数类(如分数)的引入具有明显的客观背景,有的在当时则完全是出于数学研究自身的需要,纵观数学发展的进程,问题是数学的心脏。数学问题是推动数学发展的主要动力。当然数学问题的来源是多样的。数学问题的来源大体上可以分为两部分,一部分来源于生产、生活实际以及其他科学技术领域;另一部分来源于数学本身,也就是由数学问题衍生出新的数学问题。尤其是当数学逐渐形成理论体系之后,它就开始以一个真正提问者的身份出现,不断地向自身提出新的问题,这类问题,我们称之为数学体系内部问题。数学发展到一定阶段,数学内部问题就成了推动数学发展的主要动力。数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生发展的客观需求和背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。

    体现相关内容的联系

    例如:让学生了解复数的代数表示法及几何意义,了解复数集与平面直角坐标系中的点集,复数集与平面向量的对应关系;使学生能进行复数代数形式的四则运算,了解复数加减法的几何意义(复数加减法与向量加减法的关系)。

    ③教学内容要有一定的弹性

        虽然标准中删去了复数的三角形式,复数三角形式的乘法、除法、除法、开方等内容。并且要求“注意避免繁琐的计算与技巧训练。”但“对于感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容。”因此,在知识点的教学上,需要有更大的弹性空间。

    二、重点和难点:

    1、教学重点:

    复数的引入与复数的概念、复数相等的充要条件;

    复数代数表示法及几何意义;

    复数四则运算法则、代数形式加减法的几何意义;

    2、教学难点:

    复数的引入(数系的扩充过程)及复数的概念.

    3、重、难点教学案例

    为了说明我们在教学中突出重点,突破难点,我们收集了下列典型案例作说明(以人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心编著的教材《数学选修22》作为下列案例的说明对象):

    《合情推理》课堂教学片段案例:

    课题        数系的扩充和复数的概念

    教学任务分析:1在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

    教学重点:认识引入复数的必要性,理解复数的基本概念

    教学难点:理解复数的基本概念

    教学基本流程:

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    教学过程设计

    问题

    设计意图

    师生活动

    1)回想个人的学习数学的过程,能否介绍数系的变化?

    使学生回忆学习的历史,明确数系的变化过程是由于解决问题的需要。

    师:说说数系的变化过程?

    生:思考回答

    2)方程在实数集中有解吗?你能否进行某种规定,使这个方程有解?

    创设问题情景,使学生明确解决问题的大致方向。

    师:方程在实数集中有解吗?为什么?

    生:因为,不存在实数使成立。

    师:能否进行某种规定,使呢?

    生:思考回答

    3)如果希望新引入的数i和实数之间仍能像实数系那样进行加法、乘法运算,并且运算率仍成立,这样的数该如何表示呢?

    使学生体会实数集扩充到复数集,要使得数i在运算和运算率方面满足

    生:思考讨论

    师:根据学生的讨论统一认识

    4)给出复数、虚数单位、实部、虚部的概念和复数代数形式的表达。

    使学生认识复数的代数结构,熟悉有关名称

    师:请你分别说一说的实部与虚部。

    生:回答

    5)怎样规定两个复数相等?

    使学生认识复数相等的意义和应用

    学生回答、教师点评。

    6)复数集与实数集有何关系?

    使学生认识复数集与实数集的关系,能借助图形理解复数的分类

    学生通过对ab是否为零讨论,然后尝试自我总结,教师补充。

    7)例1

     

    巩固复数的概念

    学生自己完成,教师点评。

    8)练习(第116页)123

    巩固所学知识,尝试应用

    学生自己完成,教师点评。

    9)小结与作业

     

    对于数系的扩充过程总结,理解复数概念的实质

    学生、教师共同总结所学内容。

    作业(第119页)12

     

     

     

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