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  • 高中课程标准分析——选修4-1系列
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-22 18:08:33 阅读次 【
  •   关于选修4-1专题:几何证明选讲的教学研究

    一、学习本课程已有的相关知识准备

    (一)初中具体目标
      1.图形的认识
      (1)点、线、面
      通过丰富的实例,进一步认识点、线、面(如交通图上用点表示城市,屏幕上的画面是由点组成的)。
      2)角
      通过丰富的实例,进一步认识角。
      会比较角的大小,能估计一个角的大小,会计算角度的和与差,认识度、分、秒,会进行简单换算。
      了解角平分线及其性质【1】角平分线上的点到角的两边距离相等,角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上。
      3)相交线与平行线
      了解补角、余角、对顶角,知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等。
      了解垂线、垂线段等概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线距离的意义。
      知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
      了解线段垂直平分线及其性质【1】线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
      知道两直线平行同位角相等,进一步探索平行线的性质。
      知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线,会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
      体会两条平行线之间距离的意义,会度量两条平行线之间的距离。
      4)三角形
      了解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线),会画出任意三角形的角平分线、中线和高,了解三角形的稳定性。
      探索并掌握三角形中位线的性质。
      了解全等三角形的概念,探索并掌握两个三角形全等的条件。
      了解等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质【2】等腰三角形的两底角相等,底边上的高、中线及顶角平分线三线合一。和一个三角形是等腰三角形的条件【3[3]有两个角相等的三角形是等腰三角形。;了解等边三角形的概念并探索其性质。
      了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质【4】直角三角形的两锐角互余,斜边上的中线等于斜边一半。和一个三角形是直角三角形的条件【5】有两个角互余的三角形是直角三角形。
      体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

      5)四边形
      探索并了解多边形的内角和与外角和公式,了解正多边形的概念。
      掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念和性质,了解它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。
      探索并掌握平行四边形的有关性质【1】平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分。和四边形是平行四边形的条件【2】一组对边平行且相等,或两组对边分别相等,或对角线互相平分的四边形是平行四边形。
      探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质【3】矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直平分。和四边形是矩形、菱形、正方形的条件【4】三个角是直角的四边形,或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形,或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
      探索并了解等腰梯形的有关性质【5】等腰梯形同一底上的两底角相等,两条对角线相等。和四边形是等腰梯形的条件。【6】同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。
      探索并了解线段、矩形、平行四边形、三角形的重心及物理意义(如一根均匀木棒、一块均匀的矩形木  重心)

    了解三角形的内心和外心
      通过探索平面图形的镶嵌,知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面,并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。
      6)圆
      理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。
      探索圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。
      了解三角形的内心和外心。
      了解切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画圆的切线。
      会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积。
      7)尺规作图
      完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角,作角的平分线,作线段的垂直平分线。
      利用基本作图作三角形:已知三边作三角形;已知两边及其夹角作三角形;已知两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高作等腰三角形。
      探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。
      了解尺规作图的步骤,对于尺规作图题,会写已知、求作和作法(不要求证明)。
      8)视图与投影
      会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图、左视图、俯视图),会判断简单物体的三视图,能根据三视图描述基本几何体或实物原型。
      了解直棱柱、圆锥的侧面展开图,能根据展开图判断和制作立体模型。
      了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的关系;通过典型实例,知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)。
      观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等),了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)
      通过背景丰富的实例,知道物体的阴影是怎么形成的,并能根据光线的方向辨认实物的阴影(如在阳光或灯光下,观察手的阴影或人的身影)。
      了解视点、视角及盲区的涵义,并能在简单的平面图和立体图中表示。
      通过实例了解中心投影和平行投影。
      2.图形与变换
      1)图形的轴对称
      通过具体实例认识轴对称,探索它的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质。
      能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形;探索简单图形之间的轴对称关系,并能指出对称轴。
      探索基本图形(等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆)的轴对称性及其相关性质。
      欣赏现实生活中的轴对称图形,结合现实生活中典型实例了解并欣赏物体的镜面对称,能利用轴对称进行图案设计。
      2)图形的平移
      通过具体实例认识平移,探索它的基本性质,理解对应点连线平行且相等的性质。
      能按要求作出简单平面图形平移后的图形。
      利用平移进行图案设计,认识和欣赏平移在现实生活中的应用。
      3)图形的旋转
      通过具体实例认识旋转,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。
      了解平行四边形、圆是中心对称图形。
      能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
      欣赏旋转在现实生活中的应用。
      探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合)。[参见例2和例3
      灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计。
      4)图形的相似
      了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
      通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方。
      了解两个三角形相似的概念,探索两个三角形相似的条件。
      了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小。
      通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,利用图形的相似解决一些实际问题(如利用相似测量旗杆的高度)。
      通过实例认识锐角三角函数(sinAcosAtanA),知道30?/SPAN>45?/SPAN>60?/SPAN>角的三角函数值;会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它对应的锐角。
      运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题。
      3.图形与坐标
      (1)认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。[参见例4
      (2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置。[参见例5
      (3)在同一直角坐标系中,感受图形变换后点的坐标的变化。[参见例6
      (4)灵活运用不同的方式确定物体的位置。[参见例7
      4.图形与证明
      1)了解证明的含义
      理解证明的必要性。
      通过具体的例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件(题设)和结论。
      结合具体例子,了解逆命题的概念,会识别两个互逆命题,并知道原命题成立其逆命题不一定成立。
      通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的。
      通过实例,体会反证法的含义。
      掌握用综合法证明的格式,体会证明的过程要步步有据。
      2)掌握以下基本事实,作为证明的依据
      一条直线截两条平行直线所得的同位角相等。
      两条直线被第三条直线所截,若同位角相等,那么这两条直线平行。
      若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边,或三边)分别相等,则这两个三角形全等。
      全等三角形的对应边、对应角分别相等。
      3)利用(2)中的基本事实证明下列命题
      平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行)。
      三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和,三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角)。
      直角三角形全等的判定定理。
      角平分线性质定理及逆定理;
      三角形的三条角平分线交于一点(内心)。
      垂直平分线性质定理及逆定理;
      三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)。
      三角形中位线定理。
      等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理。
      平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理。
     (4)通过对欧几里得《原本》的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值。

    《几何原本》全书共分13卷,有5条公设、5个公理,119个定义和465 个命题,构成历史上第一个数学公理体系。命题1。47 就是著名的“勾股定理”

    (二)高中必选系列 2-2   推理与证明具体目标 

    推理方法: 1)合情推理(归纳推理和类比推理).

    2)演绎推理.

    证明方法:直接证明与间接证明.数学归纳法.

    1)了解合情推理的含义,能进行简单的归纳推理和类比推理,做出数学猜想,体会并认识合理推理在数学发现中的作用.  

    2)了解演绎推理的含义,了解合情推理和演绎推理的联系和差异.掌握演绎推理的“三段论”,能进行一些简单的演绎推理.

    3)了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法。了解综合法和分析法的思考过程和特点.能套用综合法或分析法的思考过程,证明一些简单的数学命题(证明步骤一般不超过五步).

    4)了解反证法的思考过程和特点,能套用反证法的思考过程,证明一些简单的数学命题(证明步骤一般不超过四步).

    5)了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(不要求用数学归纳法证明不等式有关命题,以及平面图形中的有关命题).

    二、课程标准内容与要求

        几何证明选讲有助于培养学生的逻辑推理能力,在几何证明的过程中,不仅是逻辑演绎的程序,它还包含着大量的观察、探索、发现的创造性过程。本专题从复习相似图形的性质入手,证明一些反映圆与直线关系的重要定理,并通过对圆锥曲线性质的进一步探索,提高学生空间想像能力、几何直观能力和运用综合几何方法解决问题的能力。

      1. 复习相似三角形的定义与性质,了解平行截割定理,证明直角三角形射影定理。

      2. 证明圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理。

      3. 证明相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理。

      4. 了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,体会平行投影;证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆)。

      5. 通过观察平面截圆锥面的情境,体会下面定理:

        定理  在空间中,取直线为轴,直线相交于O点,其夹角为α,围绕旋转得到以O为顶点,为母线的圆锥面,任取平面π,若它与轴交角为β(π与平行,记住β=0),则:

        1)β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆;

        2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线;

        3)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线。

      6. 利用Dandelin双球(这两个球位于圆锥的内部,一个位于平面π的上方,一个位于平面π的下方,并且与平面π及圆锥均相切)证明上述定理(1)情况。

      7. 试证明以下结果:①在6中,一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆,并与圆锥的底面平行,记这个圆所在平面为π';②如果平面π与平面π'的交线为m,在51)中椭圆上任取一点A,该Dandelin球与平面π的切点为F,则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e。(称点F为这个椭圆的焦点,直线m为椭圆的准线,常数e为离心率。)

      8. 探索定理中(3)的证明,体会当β无限接近α时平面π的极限结果。

    三、教学建议

    1、重视数学思维能力的培养

    1)一堂课能使学生有所领悟,就意味着有可能发展学生的数学空间。在本专题教学中要重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养。

    2)培养学生的几何直观能力。简单地讲:几何直观能力就是发现辅助线的能力。

    3 以问题解决为特征的思维,是普遍存在的形式。对问题解决者来说,问题的解决过程总是创造性的。而重现和亲历发现的过程,是学习、研究数学的高招,也是我们从事数学的高招。

    4)重视直觉的培养和训练,引用彭加勒的一个著名观点,那就是:“逻辑用于证明,直觉用于发现。”

    5)注意辩证思维的引导。以研究图形为主的几何证明专题,在对图形认识的时候应当引导学生还要建立背景的意识,当以一部分图形为主要观察对象时,其他部分就变成了背景,我们需要一道学生注意辩证地观察、分析问题。

    如:

    已知:在三角形ABC中,由顶点B出发的高BD、角平分线BF和中线BE,分ABC4 等分,求ABC的大小。

       在解本题时,有两类刺激:一类是角;一类是线段。涉及到角的是:高、角的四等分线构成的角的大小等;涉及到线段的是:中线角平分线的性质等。学生在解题中,对这两类刺激并不是均等地接受的。多数学生都因为角的信息量大而把角作为“图形”,而把线当作背景。实际上,此处的“图形”处于未分化的模糊状态。不宜直接由此解证题目,那就需要将“图形”与“背景”加以转换加以求解。

        2、对本专题的教学,都应力求深入浅出。在对内容与要求67的两个命题证明过程中,蕴涵着丰富的数学思想方法,它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用,有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。教学时,教师应鼓励学生独立思考,主动尝试、探索,必要时要给予适当的指导,并应鼓励学生写出课题报告,尽可能清晰地表达自己的思考过程与论证过程。

        在条件允许的学校,教师可以利用现代计算机技术,动态地展现Dandelin两球的方法,帮助学生利用几何直观进行思维。

    3、考试内容:

    相似三角形.、平行截割定理.、直角三角形射影定理.、圆周角定理.、圆的切线的判定定理及性质定理.、相交弦定理.、圆内接四边形的性质定理与判定定理.、切割线定理.

    4、考试要求:

    1.  理解相似三角形的定义与性质,了解平面截割定理.

    掌握以下定理的证明:(1)直角三角形射影定理;(2)圆周角定理;(3)圆的切线判定定理与性质定理;(4)相交弦定理;(5)圆内接四边形的性质定理与判定定理(6)切割线定理

     

     

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