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  • 高中课程标准分析-----选修4-2
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-22 18:10:55 阅读次 【
  • 关于选修4-2专题:矩阵与变换的教学研究

    一、课标内容与要求

        矩阵是研究图形(向量)变换的基本工具,有着广泛的应用,许多数学模型都可以用矩阵来表示。

        本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念,并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义,初步展示矩阵应用的广泛性。

      1. 引入二阶矩阵

      2. 二阶矩阵与平面向量(列向量)的乘法、平面图形的变换

        1)以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义。

        2)证明矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点),即证明

        3)通过大量具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形)的变换,认识到矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。

      3. 变换的复合——二阶方阵的乘法

        1)通过变换的实例,了解矩阵与矩阵的乘法的意义。

        2)通过具体的几何图形变换,说明矩阵乘法不满足交换律。

        3)验证二阶方阵乘法满足结合律。

        4)通过具体的几何图形变换,说明乘法不满足消去律。

      4. 逆矩阵与二阶行列式

        1)通过具体图形变换,理解逆矩阵的意义;通过具体的投影变换,说明逆矩阵可能不存在。

        2)会证明逆矩阵的唯一性和等简单性质,并了解其在变换中的意义。

        3)了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵。

      5. 二阶矩阵与二元一次方程组

        1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义。

        2)会用系数矩阵的逆矩阵解方程组。

        3)会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性,唯一性。

      6. 变换的不变量

        1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义,能从几何变换的角度说明特征向量的意义。

        2)会求二阶方阵的特征值与特征向量(只要求特征值是两个不同实数的情形)。

      7. 矩阵的应用

        1)利用矩阵A的特征值、特征向量给出简单的表示,并能用它来解决问题。

        2)初步了解三阶或高阶矩阵。

        3)了解矩阵的应用。

     

     二、对本课程标准的理解

    以变换为主线贯穿于整个教学过程,使学生真正理解矩阵对向量作用作用

    旋转变换以坐标原点为中心

    通过图形变换理解并掌握初等变换

    重点难点:初等变换、 矩阵的特征值和特征向量

      三、  说明与建议

      1. 本专题只对具体的二阶方阵加以讨论,而不讨论一般m×n阶矩阵以及()形式的表示。

      2. 矩阵的引入要从具体的实例开始,通过具体的实例让学生认识到,某些几何变换可以用矩阵来表示,丰富学生对矩阵几何意义的理解,并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。

      3. 要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法,并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。

      4. 要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性,结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。

      5. 在学习二阶矩阵基础知识的同时,教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识(如三阶矩阵或高阶矩阵),这些不要求学生掌握,只要求学生作一些感性的认识,也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解,有利于以后的学习。

      6. 这部分内容的教学应让学生认识到,矩阵从实际生活需要中产生,并在实际的问题中有着广泛的应用,体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。

    四、例题

    1、试讨论下列矩阵将所给图形(或方程表示的图形)变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换?

    1         曲线方程为:x2+y2=4

    1(1)、解:所给方程表示的是以原点为圆心,2为半径的圆。

    Ax,y)为曲线上的任意一点,经过变换后的点为:A'( x1,y1

    则:  ==   2x=x1  y=y1     将之代入到x2+y2=4 可得到方程:

      此方程表示椭圆  。所给方程表示的是圆,该变换是伸压变换。

    2    给定图形(如图3):  

     

    1(2)、解:

    ∵对于点 O   

      对于点A  =

    对于点B  =     对于点C  =

    ∴变换后的图形如图4该变换是(向Y轴的)投影变换。

    3     方程为:y=-2x+6 

    1(3)、解:所给方程表示的是一条直线。

    Ax,y)为直线上的任意一点,经过变

    换后的点为:A'( x1,y1

        

    ∴x=0  y=2x+y                 

    又由方程y=-2x+6得:

    2x+y=6所以 A'(0,6)恒为定点。

    该变换是投影变换,通过变换将一条直线变为一点。原图如图5 ,变换后的图形如图6

    4     方程为:y=2x+2

    1(4)、解:所给方程表示的是一条直线。

    Ax,y)为直线上的任意一点,经过变换后的点为:A'( x1,y1

        ∴x=x' y=y' 

    变换后的方程仍为:y=2x+2

    该变换是恒等变换。(图略)

    5    点A:(2,5)

    1(5)解:∵   即A:(2,5)

    经过变化后变为A':(-2,5)它们关于y轴

    对称,∴该变换为关于y轴的反射变换。如图7

    6      点A:(3,7)

    1(6)、解:∵ 

     即A:(3,7)经过变化后变为:

    A'(3,-7)它们关于x轴对称,

    ∴该变换为关于x轴的反射变换。

    变换图形如图8

    7    点A:(2,7)

    17)、解 ∵ 

    即A:(2,7)经过变化后变为:

    A'(7,2), 它们关y=x成

    轴对称,∴该变换为关于直线y=x

    的反射变换。变换图形如图9

     

    8    点A:(a,b)

    1(8)、解:∵   

     即点A:(a,b)经过变化后变为

    A'(-b,-a)

    ∴该变换为关于直线y=-

    的反射变换。变换图形如图10

    9    点A:(21

    19)、解:∵  =

     即点A:(2,1)经过变化后变为

    A'(-1,2)该变换是把向量OA绕着

    原点逆时针旋转90得到向量 OA'

    ∴该变换为旋转变换。变换图形如图11。

    10  点A:(21

    110)、解:∵ =

     即点A:(2,1)经过变化后变为

    A'(1,-2)该变换是把向量OA

    绕着原点顺时针旋转90得到向量

     OA'∴该变换为旋转变换。变换

    图形如图12

    A(2,1)

    11       点A:(21

    111)、解:∵  =

    即点A:(2,1)经过变化后变为

    A'(41)。该变换为沿X轴正向的切换。

    变换图形如图13

    12       点A:(21

    112解:∵  =

    即点A:(2,1)经过变化后变为

    A'(25)。该变换为沿Y轴正向的切换。

    变换图形如图14

    2、根据下列条件求X,根据两题的结果,指出你认为正确的一个结论

      X =        X =      

    2、解:①X =    =   = 

     

    X =    =  = 

         结论:矩阵乘法不满足交换律。

    3、根据下列条件求X,根据两题的结果,指出你认为正确的一个结论

      X =          X =      

    3、解:①X =      =    = 

    X =      =    = 

          结论:矩阵乘法不满足结合律。

    4、若  =  ,试比较x0.7x0.8的大小

    4、解:∵  =      =    =  = 

    3x=1  x =    考察y=()x 的图象和性质得:x0.7<x0.8

    5、求下列行列式的值

                     2 

    5、解:⑴  =1×4-2×3=-2      =1×4-2×(-3=10

      =-1×4-2×0=-4         2  =2ad-bc

     

    6、若x=    R) 试求f(x)=x2+2x-3 的最值。

    6:∵x=   =con2-sin2=con2  -1x1

    f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4  ∴当x=-1f(x) 取得最小值 -4  x=1f(x)取得最大值0

    7、判断矩阵M=   是否存在逆矩阵,若存在试求出其逆矩阵

    7、解:∵  =2×5-1×6=40 M=   存在逆矩阵M-1

      M-1 =  = 

    8、用矩阵方法求二元一次方程组的解

    8、解:已知方程组可以写为:  =

    M=    其行列式  =3×1-3×(-2=90

    M-1 =   =      = M-1=  =

    即方程组的解为:

    9、根据下列条件试判断M 是否与 共线

    M=    非零向量 = M=           =

    9、解:M=  ==3

    所以M共线。

    M=   =   不共线。 即此时M不共线。

    10、求矩阵M=  的特征值和特征向量

    解:矩阵M的特征值满足方程

    0=  =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8

    解得,矩阵M的两个特征值1=42=-2

    设属于特征值1=4的特征向量为,则它满足方程:

    (1+1)x+(-2)y=0  :(4+1x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0

     则可取为属于特征值1=4的一个特征向量

    ⑵设属于特征值1=-2的特征向量为,则它满足方程:

    (2+1)x+(-2)y=0

    :(-2+1x+(-2)y=0 也就是  x+2y=0

     则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量

    综上所述:M=   有两个特征值1=42=-2

    属于1=4的一个特征向量为,属于2=-2的一个特征向量为

    11、已知:矩阵M=  ,向量 = M3

    11、解:由上题可知1 = 2 =是矩阵M=         分别对应特征值1=42=-2的两个特征向量,而1  2 不共线。又  ==3+=31+2

    M3= M331+2=3 M31+ M32  =3131+232=3×43+-23×

         = 192×-8×==

    12、已知⊿ABC的坐标分别为A11)、B32 )、C24 ),①写出直线AB的向量方程及其坐标形式。②并求出BC边上的高。

    解:①AB的平行向量为:V0==,设M直线AB上的任意一点,故:

    所求向量方程为:OM = OA + t? V0   ( tR ) 其坐标形式分别为:=+ t   ( tR ) ②由 ①,直线AB的坐标形式方程可化为:   肖去t后得普通方程为:x-2y+1=0  所以所求高为C到直线AB的距离,设为h,则:h=                  = 

     

     

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