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  • 高中课程标准分析——选修4-4
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-22 18:14:17 阅读次 【
  • 关于选修4-4专题:坐标系与参数方程的教学研究

    一、学习本课程已有的相关知识准备

    初中:笛卡尔直角坐标系一次函数二次函数的图像和性质等

    高中必修2 解析几何的基础 

    高中必修4平面向量   

    高中必修  4 基本初等函数()(三角函数)

    二、对本课程标准的理解

        坐标系是解析几何的基础。在坐标系中,可以用有序实数组确定点的位置,进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象,需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系,对于有些几何图形,选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。

        参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程,是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。

        本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本专题的重点内容,对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。通过对本专题的学习,学生将掌握极坐标和参数方程的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力。 

      三课程标准的内容与要求

      1. 坐标系

        1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用。

        2)通过具体例子,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

        3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化。

        4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。

        5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别。

      2. 参数方程

        1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。

        2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择适当的参数写出它们的参数方程。

        3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性。

        4)借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程。

        5)通过阅读材料,了解其他摆线(变幅平摆线、变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的生成过程;了解摆线在实际中应用的实例(例如,最速降线是平摆线,椭圆是特殊的内摆线——卡丹转盘,圆摆线齿轮与渐开线齿轮,收割机、翻土机等机械装置的摆线原理与设计,星形线与公共汽车门);了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用。

      3. 完成一个学习总结报告

        报告应包括三方面的内容:(1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解,进一步认识数形结合思想,思考本专题与高中其他内容之间的联系。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步探讨参数方程、摆线的应用。(3)学习本专题的感受、体会。

    四、教学建议

      1. 坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组(坐标)来刻画,在不同坐标系中,这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此,选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。

      2. 在坐标系的教学中,可以引导学生自己尝试建立坐标系,说明建立坐标系的原则,激励学生的发散思维和创新思维,并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处。

      3. 应通过对具体物理现象的分析(如抛物体运动的轨迹)引入参数方程,使学生了解多数的作用。

      4. 应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识,选择适当的参数建立曲线的参数方程。

      5. 可以组织学生成立兴趣小组,合作研究摆线的性质,收集摆线应用的实例。

      6. 可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等,使学生感受这些曲线的美。

    7、考试要求

    了解坐标系的建立方法和原则,体会在不同的坐标系中用有序实数组对确定点的位置的表示,理解方程与图形、方程和方程的关系,掌握简单的参数方程、极坐标方程和普通方程之间的互化,会从质点运动等的实际问题中抽象出数学问题并建立模型求解质点的参数(或极坐标)方程及解决简单的相关问题.

    8、 考试内容

    1、坐标

    1)了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

    2)了解极坐标的基本概念,会在坐标系中用极坐标刻画点的位置,了解极坐标和直角坐标的互化.

    3)了解在极标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程.

    2.、参数方

    理解参数方程的基本概念,能选择适当的参数并写出直线、圆和椭圆的参数方程.

      例:  已知某圆的极坐标方程为:ρ2 4ρcon(θ-π/4)+6=0

    求: 圆的普通方程和参数方程 圆上所有点(x,y)中xy的最大值和最小值

      解:原方程可化为:–4ρ[conθ.con+sinθ.sin] +6=0

    即:–2ρconθ–2ρsinθ+6=0  (1)

        ∴(1)可化为:+–2 x–2y+6=0

    即:+=2 此方程即为所求普通方程

    设  =conθ,     =sinθ

    ∴则普通方程又可化为:此方程即为所求参数方程。

    : 由①xy=()()=4+2 (conθ+sinθ) +2 conθ.sinθ

          =3+2 (conθ+sinθ)+    (2)

    t= conθ+sinθ, t=sin(θ+)   t[-,]

    xy=3+2 t+ =+1

    t=–时的xy最小值为1;当t=xy最大值为9

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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