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  • 高中课程标准分析——选修4-5不等式选讲
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-22 18:16:25 阅读次 【
  • 关于选修4-5专题:不等式选讲的教学研究

    一、学习本课程已有的相关知识准备

    (一)初中课标要求:不等式与不等式组
      能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义,并探索不等式的基本性质。
      会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集。会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会用数轴确定解集。
      能够根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式和一元一次不等式组,解决简单的问题。

    (一)初中课标要求:不等式与不等式组
     
    (二)高中必修5  

     不等式(约16课时)

        1)不等关系

        通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景。

        2)一元二次不等式

        ①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。

        ②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。

        ③会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。

        3)二元一次不等式组与简单线性规划问题

        ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。

        ②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组

        ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决

        4)基本不等式:

        ①探索并了解基本不等式的证明过程。

        ②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(参见例4)。

    二、课程标准内容与要求

        在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系,不等关系和相等关系是基本的数学关系。它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

        本专题将介绍一些重要的不等式和它们的证明、数学归纳法和它的简单应用。本专题特别强调不等式及其证明的几何意义与背景,以加深学生对这些不等式的数学本质的理解,提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

      1. 回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式。

      2. 理解绝对值的几何意义,并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:

        1

        2

        3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:

       

      3. 认识柯西不等式的几种不同形式。理解它们的几何意义。

        1)证明:柯西不等式向量形式:

        2)证明:

        3)证明:

       

        (通常称作平面三角不等式)。

      4. 用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况:

       

      5. 用向量递归方法讨论排序不等式。

      6. 了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题。

      7. 会用数学归纳法证明贝努利不等式:

        n为大于1的正整数)。

        了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。

      8. 会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值。

      9. 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

       、教学建议

      1. 在本专题教学中,教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景,例如本专题给出的不等式大都有明确的几何背景。学生在学习中应该把握这些几何背景,理解这些不等式的实质。

      2. 利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法,例如,比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等,在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧,对于专门从事某些数学领域研究的人们掌握这些技巧是极为重要的。但是,对大多数学习不等式的人来说,常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质,对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景。所以,本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式,使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想,不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求,不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题。

    3. 数学归纳法是重要的数学思想方法,教师应通过对一些简单问题的分析,帮助学生掌握这种思想方法。在利用数学归纳法解决问题时,常常需要进行一些代数恒等变换。要求教材的编写者和教师不要选择那些代数恒等变换比较复杂或过于技巧化的问题或习题,以免冲淡了对数学归纳法思想的理解。

    4. 完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容:(1)知识的总结。对本专题介绍的不等式中蕴涵的数学思想方法和数学背景进行总结。(2)拓展。通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步探讨不等式的应用。(3)对不等式学习的感受、体会。

    5、考试内容:

    绝对值不等式.

    不等式的基本证明方法:比较法、综合法、分析法.

    6、考试要求:

    (1)理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:

       

    (2) 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式.

    (3)能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值,会用比较法、综合法,分析法证明简单的不等式.

    四、参考例题

    1、设,求函数的最大值,并求出相应的的值。

     

     

    2、已知x>1 , y>1 , lg x lg y的最大值。

     

     

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