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  • 《解析几何》的教育价值与教学建议
  • 作者: 来源: 时间:2011-3-31 10:51:57 阅读次 【
  • 《解析几何》的教育价值与教学建议

    北京宏志中学  王芝平   江苏省睢宁高级中学    黄安成

     

    《解析几何》原本是大学数学基础课程,在上个世纪六十年代初首次进入高中教材,获得了广泛好评.由于历史的原因,在之后的十年内,又被“逐出”了高中教材.直到七十年代中、后期,才再次进入高中数学课程.经过三十多年的实践、磨砺、历练与考验,现在已经稳定地成为高中数学教材的主体,并成为数学高考的“热点”.具有启迪意义的是,《解析几何》的“进出”与国民经济、科学技术的“起落”几乎是同步的,显示出《解析几何》对于中学生的进步、成长、成熟、成才,思维与能力的发展,数学素养与综合素质的提高具有巨大的意义,而这从根本上关系着国民经济、科学技术的发展.作为高中数学教师,深刻认识《解析几何》的教育、教学价值,能从宏观整体上理解和驾驭教材,从微观上把握、调控、设计、部署、组织、实施有效的教学程序,确立科学与人文融合的新教育理念,实现多元化、立体化的教育、教学目标,是极其重要的,也是全面实施素质教育的崭新课题.

    一、《解析几何》的教育价值

    随着时代的发展,人们对数学和数学教育本质的认识在不断地发展、变化与更新,数学已经从单纯的工具演变提升为所有公民所必备的一种精神、一种文化、一种观念、一种思维方式,因此数学教育纯粹向学生传授知识和解题方法的单一化目标正在被包含“文理融合,德智兼顾,完善人格,提高素养”在内的多元化、立体化目标所取代.《解析几何》正是在这些方面显示出非凡的教育价值.

    美国应用数学家克莱因在他的名著《西方文化中的数学》中指出:“数学是一种精神,一种理性的精神.正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度,也正是这种精神,试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻和最完美的内涵.

    《普通高中数学课程标准(实验)[1]在开头也明确指出:“数学是人类文化的重要组成部分”,“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,认识数学的科学价值、文化价值,提高提出问题、分析问题、解决问题的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用.

    提到数学的理性精神,不能不说说爱因斯坦震撼人心的论述:“为什么数学比其它一切科学更受到特殊的重视?一个理由是,它的命题是绝对可靠和无可争议的,而其它一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的,并且经常处于被新发现的事物推翻的危险之中.”《解析几何》的所有命题就具有“连上帝”都认为“绝对可靠”与“无可争议”的理性特征.

    世界文明全方位的进步越来越离不开数学理论、数学技术与数学思维.不仅自然科学与技术依靠着数学,就是社会人文科学也大量应用着数学的理念、方法与思维方式.正如日本著名学者、数学教育家米山国藏所说:“我搞了多年的数学教育,发现学生们在初中、高中接受的数学知识因毕业进入社会后,几乎没有什么机会应用这些作为知识的数学,通常是出校门不到一、两年就很快忘掉了.然而,不管他们从事什么业务工作,惟有深深铭刻于脑中的数学精神,数学的思维方法、研究方法和着眼点等,都随时随地发生作用,使他们终生受益.”精辟深邃的见解在《解析几何》中得到淋漓尽致的体现.

    [2]说:“数学在人类文明史中一直是一种主要的文化力量.…人类历史上每一个重大事件的背后都有数学的身影:哥白尼的日心说,牛顿的万有引力定律,无线电波的发现,三权分立的政治结构,…等都与数学思想有密切的联系.

    十六、七世纪,许多数学家在思考,能否找到一种可以解决所有数学问题的统一方法.虽然许多数学家没有获得成功,但在长期思索、探寻的过程中孕育着一项超越前人的,数学发展史,乃至科学发展史上划时代、里程碑式的伟大成果,这就是法国数学家笛卡儿创立的《解析几何》.

    笛卡儿长期思考用代数方法来研究几何问题.16191110日傍晚,他在朦胧中观察蜘蛛在墙角结网,那纵横交错的蛛丝网络引发了他的灵感,那不正是“用代数方法来研究几何问题”的绝佳工具吗?基于此种构想,平面直角坐标系以及解决几何图形问题的坐标法、解析法应运而生,“数”和“形”神奇地结合了起来,函数、方程实现了视觉化、形象化;曲线与几何图形实现了数量化.点、线和曲线的运动与数量变化融为一体,并达到完美的境界,“动”与“静”的辨证关系被刻画得惟妙惟肖.对此,恩格斯给予了极高的评价:“数学中的转折点是笛卡儿的变数,有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分立刻成为必要的了.[3]

    有了平面直角坐标系,在函数的研究中可充分发挥其图像的优势,在方程的研究中又可发挥对应图形的优势,真是数形结合,优势互补,如虎添翼、相得益彰.有了平面直角坐标系,可以将复数a+bi(abR)表示在平面内,构建出复平面,使复数的研究逐步提升能到一个前所未有的高度.有了平面直角坐标系,随着函数研究的逐步深入,发明了导数,于是推动现代化科学技术发展的微、积分诞生了.有了平面直角坐标系,人们又将平面向量表示成坐标(xy),那么平面向量的所有运算都可以实现坐标化,使有关问题的解决变得更加简捷流畅,这是向量研究的重大突破.平面直角坐标系又发展到空间直角坐标系,于是诞生了空间向量、空间解析几何.完全可以说,对大到宇宙天体中各种星球的运行,小到物质的分子原子的结构以及电子运动的研究,都可以归结为对函数及其图像、曲线及其方程的研究,都是以坐标系为重要工具,都与《解析几何》结下了不解之缘.下面的框图以浓缩的方式揭示的就是源于坐标系而发展成的“一棵参天大树”.

     
     

     

     

     

     

     

     

     


    进入高中的学生,随着知识、技能、思想和阅历的逐渐丰富,思维水平的长足提升,审美意识的开始树立,辨证唯物主义世界观的逐步形成,将实现从幼稚蒙昧的少年“破茧化蛹成蝶”的巨变,在学生整个人生发展的这个非常关键的时期,《解析几何》的教学正是促进学生这种巨变的重要推动力.

    数学思维是人的综合素质中最重要的组成部分,广阔性、深刻性、敏捷性、缜密性、创造性、批判性等数学思维的各种特性在《解析几何》中都有极为丰富的背景内容.从《解析几何》中提炼出的各种数学思想可在极大的程度上丰富学生的大脑.从《解析几何》中反映出的数学美是随处可见的,问题是要能去发现、揭示和欣赏,并用这种美激发兴趣,引发思维的创造.数学中充满辨证法,对立统一的法则、矛盾的普遍性与特殊性、偶然性与必然性、矛盾双方在一定条件可以互相转化、量变到质变等哲学基本原理,在《解析几何》中都可以找到大量生动鲜活的实例.教师高瞻远瞩、纵横捭阖,巧妙地将这些内容编织进课堂教学之中,学生在感到赏心悦目、情趣盎然的同时,更会觉得自己的“思维得以运用到最完善的程度”,这是思维与各种能力趋于成熟的标志.

    二、《解析几何》的教学建议

    对《解析几何》教育、教学价值的深刻理解,可使教师形成一种高屋建瓴的磅礴气势,能高瞻远瞩地洞悉整个教材的体系,以便将《解析几何》当作一部“长篇巨著”,然后再将它创编为一集集既相互独立,又有内在联系的“电视连续剧”,设计并实施科学性与艺术性双具的一节节教学精品,以取得最大限度的教育、教学效益.为此,提出《解析几何》教学的一些建议.

    1   突出主线  副线交叉  和谐统一

    《解析几何》的灵魂是“解析”,即用代数方法研究几何图形的坐标法,这是贯穿于《解析几何》教学的一条主线.但这条主线又与多条副线交叉组合,构成了和谐统一的有机系统.

    (1)认识并处理好函数及其图像与曲线及其方程的联系与区别.虽然这两者都是以坐标系为纽带,但函数y=f(x)与二元方程F(xy)=0有着本质的区别.直线x=a与函数y=f(x)的图像最多只能有一个公共点,而直线x=a与方程F(xy)=0的曲线的公共点却可以超过一个.在一定条件下,曲线方程可以转化为函数.如由方程x2+y2=R2可解得,但这却不能称为函数,只有

    才能称为函数.在这里,函数与方程、函数的图像与方程的曲线实现了沟通.在解决有关弦长、图形的面积、直线的斜率、离心率的问题中,常转化为对目标函数的求解与研究.可见函数与《解析几何》结下了不解之缘,函数堪称《解析几何》中的一号副线.

    (2)一般方程堪称《解析几何》中的二号副线.在研究曲线位置关系的问题中,常转化为对一元二次方程的讨论,判别式△的几种情况、根与系数的关系就成了解决《解析几何》中的“常客”.

    (3)不等式堪称《解析几何》中的三号副线.不等式的性质、不等式的求解、不等式的证明、均值不等式的应用与《解析几何》的综合问题常处于各级各类考试试卷的把关位置.

    (4)三角函数堪称《解析几何》中的四号副线.直线倾斜角、直线方程中xy的系数中常含三角函数、圆的方程x2+y2=R2与椭圆方程ab0)的参数形式                      

    都与三角函数有着密切的亲缘关系.

    (5)平几知识的频繁介入.求动点的轨迹、解决有关图形的问题,常与平几图形联袂,“小小的” 平几知识常成为解决大问题的杠杆.直角三角形、等腰直角三角形、平行四边形、线段的中点常在《解析几何》问题中扮演着重要“角色”.

    (6)《解析几何》的问题常与平面向量的运算、平行、垂直、夹角等携手组成绚丽多姿的综合题.

    (7)《立体几何》与《解析几何》的综合.近年来发现一些与《立体几何》有关的轨迹问题,是“立体”与“解析”两大几何的联手,值得关注.在高中数学的选修部分,更进一步揭示了圆锥曲线与圆锥的渊源关系,是拓宽学生数学视野、丰富数学手段、发展思维的良机.

    (8)数列知识的介入.虽然这类问题不是太多,但也应值得重视.

    2   重研究对象,更重数学方法

    从对象看,《解析几何》研究的无非是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线,但在研究它们的各种性质与解决有关问题的过程更要重

    视数学方法的构建与应用.

    最重要的、处于核心位置的

    数学方法当属坐标法,如右面的

    框图所示.

    以直角坐标系为工具,实现几何条件的代数化,得到曲线(动点的轨迹)的方程,又在直角坐标系中结合方程研究曲线的性质,深入理解这个方法的精髓,所有研究对象的性质将成为显然的几何事实,记忆、掌握与运用就变得十分自然、顺畅.

    以坐标法为枢纽,还要辅以若干重要的支线,总结一些另外的典型方法也是十分必要的.

    (1)设直线ly=kx+b与曲线 CF(xy)=0,常消去y,得到一个关于x的一元二次方程,那么研究直线l与曲线C的位置关系就转化为对这个方程的解的研究.当△>0时,直线l与曲线C有不同的两个交点A(x1y1)B(x2y2),则|AB|=

    =.特别地,当k=1时,|AB|=,图形中出现了等腰直角三角形.

    这就是著名的弦长公式,给长度、面积、最值,特别是求范围等问题的解决提供了方便.

    但思维不可僵化,有时直线l的方程也可设为x=my+a,则可巧妙地避免对直线的斜率是否存在的繁琐讨论,当然这时的弦长公式就变为|AB|=.

    类似的结论固然须牢固掌握,但更重要的是要带领学生一起来追寻它们形成的“历史足迹”,重视与突出其推导过程.

    (2)增强应用圆锥曲线定义的意识.现以椭圆为例.

    在坐标系xOy中,设定点F1(-c0)F2(c0),若动点M(xy)满足|MF|+|MF|=2a(ac0) 

    经代数化,得                                 

    则可化得椭圆的标准方程.

    椭圆的标准方程又可变形为                             

    在将②式化为标准方程的过程中,有一个过度式

    进而可化为                                                   

    结合图1,那么①②两式以不同的形式展示了椭圆的第一定义,④

    式展示的是椭圆的第二定义,③式即,展示的是椭圆

    的另一定义,不妨称之为椭圆的第三定义.由④式还可得|MF2|=a-ex,其中

    就是椭圆的离心率.这样就将椭圆的三个定义与椭圆的准线、离心

    率、椭圆的焦半径公式融为一体,组成一个完整的知识体系.不过,在③式中,由于x≠±a,所以必须增补点(a0)(-a0),才能得到一个完整的椭圆.

        (3)“将几何条件代数化”当然是求动点轨迹的最重要的基本方法,但此外还要总结另外一些典型的方法,如定义法、参数法、反代法.现仅以反代法为例,阐述其基本形式.

    设已知曲线CF(xy)=0上的一动点P(x0y0)Q(xy)是与P相关的动点,则求点Q的轨迹方程按以下步骤进行:

    1o正代:由已知得F(x0y0)=0                                                      

     
     


    2o求相关条件方程组:由PQ的相关条件得

     

     
     


    3o求反代式:由上述方程组解得用xy表示x0y0的反代式

     

    4o反代置换:将反代式代入①式,即得Q点的轨迹方程F(h1(xy)s1(xy))=0.

    (4)曲线的切线越来越受到重视.圆的切线自不必说,其他曲线的切线,一方面可用上面(1)所说的△=0来解决,但更值得关注的是有关抛物线y=ax2+bx+c(a0)的切线的问题,常用导数方法来解决.

    (5)一个典型奇特的方法,即同构式的应用.限于篇幅,这里仅举一例.

    AB是抛物线y=x2的上的两个动的动点,O是原点,若OAOB,过OOHABH,求H点的轨迹方程.

    A(t1)B(t2),由OAOB易得t1t2=-1                                    

    OA为直径的圆的方程是.

    化为                                                     

    同理,由以OB为直径的圆的方程,得                       

    ②③两式中,只是t的下标数字不同,其余的结构完全相同,两式一“碰撞”,下标消失,得

                           

    t1t2是关于t的方程④的两根,所以t1t2=-(x2+y2),结合①式,立即得x2+y2=1(x0).

    这就是欲求的H点的轨迹方程.

    ②③两式叫做同构式,从初中到高中,无数问题的解答都可以仰仗同构式的奇特功能.这里展示的是同构式的最单纯的形式,当然还有许多变化,但再复杂的相关问题其基本原理与之是一致的.

    3   体现学生的“四个主体”

    “四个主体”指的是树立学生的主体精神,强化学生的主体意识,确立学生的主体地位,发挥学生的主体作用.弘扬学生的“四个主体”,但决不意味着削弱教师的主导作用,反而对教师的主导作用提出了更高层次的要求.仅举一个课例:《直线的倾斜角和斜率》.

    在讲授选择倾斜角的什么三角函数值为直线的斜率时,学生会质疑,为什么不选正弦或余弦,而偏要选正切?教师不可用“这是规定”来搪塞,而要发动学生进行深入的讨论、争辩,教师以平等的身份参与其中,用诙谐幽默的语言进行点拨、启发、诱导和评析.

    直线倾斜角的取值范围是,现在分别画出y=sinxy=cosxy=tanx在区间上的图像(如图234),让它们来个“公开、公平、公正、透明的竞聘”,看到底哪个函数能“胜出”.

     

     

     

     

     


    y=sinx在区间上的值都是非负的,且对于不同的角,可能有相同的函数值,它失去了“当选”的资格;y=cosx在区间上的值域为-11],且=0,而当倾斜角为时,直线垂直于x轴,此时说“直线的斜率为0,不合情理,它也不具备“胜出”的条件;可是y=tan上分别是增函数,对应于直线斜率从负无穷逐渐增大到0;从0逐渐增大到正无穷,而当时,直线垂直于x轴,tan不存在,即直线的斜率不存在,直线就一点也不倾斜了,多么自然与和谐!学生哈哈大笑,在笑声中领悟了多方面知识的实质,并达成了共识,合情合理地认定tan为直线的斜率.

    4   优化思维品质是教学的核心内容

    数学是思维的科学,数学教学的根本任务就是优化学生的思维品质,所有知识、技能、思想的理解、接受、掌握与运用都有着思维活动的深刻与丰富的背景,所以在《解析几何》教学的始终都要将这个重要目标放在首位.

    前文中的所有框图虽然不必向学生讲述,但只有当教师深刻理解后才能做到“底气足”、理直气壮.选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能.体现的是思维广阔性.

    关于椭圆的三个定义的讨论,将原本似乎彼此无关的内容纳入到一个体系之中,反映的是思维的深刻性.

    在不同的问情境中迅速识别、判断与检索,如应用反代法、同构式,是思维敏捷性的体现.

    在求动点轨迹方程时,需要去掉那些点,补上哪些点,以保证轨迹与方程的完备性与纯粹性,反映的是思维的缜密性.

    直线方程设为x=my+a、由方程②③判断t1t2是关于t的方程④的两根,不拘一格、别出心裁,显示的是思维的创造性.

    检验轨迹和方程是否保证完备性与纯粹性、抛物线等圆锥曲线的定义中的“定点”必须在“定直线外”、椭圆定义中的“定长”必须“大于|F1F1|”等,显示的都是思维的批判性.

    5   用数学的人文精神关怀学生的人文发展

    数学虽然是理科,但其中饱含的人文精神对于学生综合素养的提高起着举足轻重的作用.关键是要做到有机结合、潜移默化、润物无声.

    前文谈到笛卡儿创立了《解析几何》,竟将时间精确到年、月、日与“傍晚”时刻,使这个故事更具震撼力与穿透力.教师还可“借题发挥”:笛卡儿的创造看似偶然,但必然性包含在偶然性之中,偶然的创造发明是长期殚精竭虑、思索探寻的必然结果.请问笛卡儿是在多大岁数时作出了这项创造?学生会回应:23岁!那么“有志不在年高,无志空长百岁”的箴言则跃然纸上.

    恩格斯说:“数学中充满辨证法.”又说:“数学:辨证的辅助工具和表现形式.[4],所以文[1]规定了高中数学教育的一项重要目标,那就是树立学生的“辩证唯物主义的世界观.

    “学生听不懂所讲解的辩证法”,这种担心是多余的,只要你理解透彻了,结合具体鲜活形象的事例,运用通俗浅显的语言,学生是能领会的.如直线ly=kx+b,若k是变量,b是常量,则直线l就在平面内围绕点(01)作旋转运动;若b是变量,k是常量,则直线l就在平面内作斜率为定值的平行移动.这种“动中寓静,变中求定”的特征就是对立统一法则的生动体现.

    再如“量变到质变”的基本原理,在《解析几何》中可找到无数生动的事例.点与直线的位置关系、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系、曲线与曲

    线的位置关系,都能深入浅出地揭示这一原理.再如图5,设平面内的一

    条定直线l以及l外的一个定点F,平面内的动点PQR到直线l的距

    离分别为PNQNRN,若,则P点的轨迹是椭圆;若1

    Q点的轨迹是抛物线;若,则R点的轨迹是双曲线.量的不断

    积累,超越一定的界值,就会发生质的变化,或说飞跃,浅显之中反映的是深刻的道理,且能引发诸多联想.

    另外,数学美对于情操的熏陶、数学美对于创造思维的诱发、优良的意志品质在解决问题过程的巨大作用、对科学真理不懈的追求与舍命的坚持、为全球人类造福的献身精神,都可以巧妙地融入《解析几何》的教学之中.

    行文至此,深深地感到,通过《解析几何》的教学,可实现师生的互惠双赢。

     

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