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  • 必修4教材解读(张乃达)
  • 作者: 来源: 时间:2011-4-14 15:50:37 阅读次 【
  • 苏教版必修第4册

                            第8章  三角函数

    1。关于教材的定位

    问:《三角函数》是数学4中的重要内容,请谈谈你们在编写这部分内容时的指导思想是什么?对这部分教材你们是怎样定位的?

    说明要点:

    (1)在编写教科书时,首先要对教材定位,也就是对这一章的教材有一个总体的认识,一个核心的指导思想。这个认识将指导整个编写工作。诸如教育目标的确定,内容的取舍,结构的安排,呈现方式的设计都是受这个核心思想的制约的。

    (2)不同的教材有不同的定位,教材的定位集中地体现在它的引言中。下面我们就从三种教材的引言中,来看它们的“定位”

    (插入幻灯片:本章目录、引言)

    (3)《三角函数》虽然是高中数学课程的传统内容,但是不论是和以往的教科书还是和其它的实验教科书相比,我们的教科书都具有鲜明的特点。

    (4)比较三种教材的引言。

    ①原来的教材(老教材)在引言中,举出了一道数学问题,告诉学生如果学习了三角函数知识以后,会有更简便的解法。进而简要地说明了本章将要学习的内容和意义。

    设置背景:一道用三角知识可以做得更简便到数学(应用)题。

    提出问题:没有向学生提出问题。

    明确任务:学习和研究任意角的三角函数、三角变形,三角函数的图象…等知识。

    ②教材2的引言。

    提供背景:自然界广泛地存在着周期性现象,

    提出问题:如何用数学的方法来刻画这种(周期性)变化的规律?

    明确任务:指出三角函数就是刻画周期性变化规律的数学模型。我们要研究三角函数的意义,性质和应用。

    学习的起点是:三角函数究竟是一种什么样的函数?

    教材的定位是:学习和研究是描述周期现象的重要数学模型:三角函数;

    ③苏教版的引言:

    提供背景:自然界广泛地存在着周期性现象,圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子。

    提出问题:用什么样的数学模型来刻画周期性运动;

    明确任务:建构这样的数学模型。前提出了研究“纲领“;

    教学的起点是:对周期性现象的数学(分析)研究;

    教材的定位是:展示对周期现象进行数学研究的过程,即建构刻画周期性现象的数学模型的(思维)过程;

    2。教科书的的特点

    苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的(思维)过程”,为了保证这个定位的落实,或者说,作为定位的具体体现,教材形成了鲜明的特点:

    1。采用以问题链为线索的呈现方式。

    说明要点

    (1)既然教材要展示“思维过程”,而思维是从问题开始的,思维的过程就是不断地提出问题,解决问题的过程。所以教材采用了以问题链展开的呈现方式。注意提出问题的环节,注意问题间的逻辑联系,强化目标(建构刻画周期性现象的数学模型)的指向作用;

    (2)例子:任意角三角函数

    任意角三角函数概念无疑是本部的核心概念。苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后,通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概念的。应该指出的,尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的,只是在具体的处理方法上有些“微妙“的差异,可是不应该小看了这里的差异,因为这些差异正是对教材不同定位的表现。

    插入幻灯片:人教版任意角的三角函数P12;

    人教版的教材是从讨论锐角三角函数开始的。对这样的安排,人们会问:

    问:为什么要讨论锐角三角函数呢?

    回答可能是“为了建立任意角的三角函数的概念”。

    问:为什么要建立任意角的三角函数的概念呢?

    回答可能是因为任意角的三角函数正是“刻画周期性现象的数学模型”。

    问:为什么任意角的三角函数可以刻画周期性现象呢?

    可能的回答只能是:你们研究了三角函数的性质就知道了。

    其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题,今编者和学生都无法回答。这就是:

    问:研究周期性现象时,你怎么会想到“锐角三角函数”的?

    由此可见,尽管学生看起来是参与了建立三角函数概念的活动,但是他们并不知道这些活动的意义!造成这种现象的根本原因,就在于教材的编者根本就没有想展示三角函数建构的过程,而只是想让学生认识到三角函数是刻画周期性现象的数学模型。也就是说,教材的定位是对三角函数的研究,而不涉及这个数学模型是如何从对周期性现象的研究中被建构出来的过程。由于苏教版对教材的定位不同,在处理上也就不同了。

    插入苏教版的任意角的三角函数P12。

    教材在提出:“怎样将锐角三角函数推广到任意角?”之前,还安排了一个问题:

    “用怎样的数学模型模型建立(x,y)与(r,α)之间的关系?

    这就是考察锐角三角函数的“理由”。

    那么,又怎么想到要研究(x,y)与(r,α)间的联系的呢?

    这是因为用(r,α)(x,y)都可以表示圆周上的点。

    那么,为什么要表示圆周上的点呢?

    这是为了刻画圆周上点的运动。

    那么为什么要刻画圆周上点的运动呢?

    这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”

    为什么要研究周期现象呢?

    因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。”

    这里使用的这是问题串,它揭示了建构数学模型的思维过程,在问题串的指引下,学生真正主动地参与了建构活动。这正是我们把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型”的原因。

    问题串展示了建构数学模型的过程,揭示了数学知识间的联系。

    2。以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容。

    说明要点

    (1)教材以右图为主线展开。

    (2)教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用,在结构上尽可能地与“函数”一章相同。

    (3)为了突出“建构—研究—应用”这一主线,教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。如,抽出“三角变换”的内容,另立一章;把6种三角函数减为3种等等。

    这样做一方面可以让学生利用已有的经验,掌握学习的主动权,发现数学知识的联系,加深对知识的理解;另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法,有利于正确的数学观念的形成。

    插入本章知识结构图

    3,突出周期性。

    说明要点:

    (1)本章的研究对象是周期性现象,建构的是“刻画周期性现象的数学模型”,在教材中,我们突出了周期性,把它看成是教材编写的出发点和归属。

    (2)例子:三角函数的性质

    在很多教材中,总是通过作出三角函数的图象,然后再由图象的观察得到三角函数的性质的。对此,苏教版的教材做了不同的处理。

    插入苏教版:三角函数的图象与性质(P26)

    这里的处理有如下特点:

    (1)首先研究“三角函数的周期性”,为此专门列了一节;

    (2)三角函数的周期性,不是由图象得到的,而是从三角函数的定义,从终边位置周而复始的出现,从诱导公式即从以前的研究过程中得到的。相反,三角函数周期性的研究为正确起了指导作用。

    (3)在正式研究三角函数的性质之前,教科书就从总体上作出了判断:“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”,因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型。这样的判断对不对呢?这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质?首先什么是“周而复始的基本性质?“这样就提出了本小节的问题:如何用数学语言刻划函数的周期性?

    这样的编排,不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景,突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题,而且充分地发挥了理性思维的作用。

    周期函数的定义是教学中的一个难点。在教学中,可以从“周而复始的重复出现”出发,一步步地使语言精确化,通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。

    (4)在教学中应该注意的是,本章讨论的只是三角函数的周期性,在教学中不要过多地对一般的周期性函数做讨论。

    4。加强几何直观,强调形数结合的思想

    说明要点

    (1)三角函数的基础是几何中的相似形和圆,而研究方法又主要是代数的,因此三角函数集中地体现了形数结合的思想,在代数和几何之间建立了初步的联系。在本章中,充分渗透了数形结合的思想.一方面是以形助数,突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用.如在三角函数及其性质的学习中,注意充分发挥单位圆的直观作用,借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数,理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象;通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式;借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质;另一方面以数助形,例如应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图.

    (2)例子:诱导公式的推导。

    插入老教材诱导公式的幻灯片

    在过去的教材中,诱导公式是求三角函数值的问题引人的。教科书的研究程序是:

    (1)提出的问题:“对于0暗?60胺段椒侨窠堑娜呛芊褡扇窠侨呛兀咳绻埽墓绞鞘裁矗俊?/P>

    (2)明确问题:要研究特定的角(α与180?plusmn;α,-α,360?α等等)之间的三角函数值的关系。

    (3)研究特定角的终边的位置关系;

    (4)研究特定角的三角函数值的关系,得到诱导公式。

    苏教版是这样处理的:

    插入苏教版诱导公式的幻灯片

    提出问题:由三角函数的定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等。除此以外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称,关于原点对称等,那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢?

    解决问题的程序如下:

    这两种处理方式的区别是明显的:

    第一、提问题的角度不同。老教材从“计算求角”提出问题,这和它把三角函数看成“变换”的工具这个认识一致的。这样的问题就偏离了“研究刻划周期性数学模型”的中心;而苏教版中的问题是“从对三角函数的性质进行研究”,这个主题中派生出来的,是对“模型“研究的一个有机的组成部分。

    第二、三角函数的值是由角的终边的位置决定的,因此从终边的位置关系提出问题就更为合理;

    第三、苏教版的处理方式突出了形数结合思想。特别是教材中,在小结时,更是深刻地揭示了诱导公式的本质,堪称经典:

    “诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说,诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系。

    第四。由于苏教版教材更好准确地抓住了诱导公式的本质,所以整个处理过程,一气呵成,自然合理,便于理解和记忆。

    四、教学建议

    1。准确把握教学要求

    说明要点:

    (1)与过去的教材相比,新教材强调了三角函数是一种“数学模型”

    课程标准提出的教学要求是:

    ①了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化。

    ②借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。

    ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(π/2±α, π±α的正弦、余弦、正切),能画出y=sin x , y=cos x , y=tan x的图象,了解三角函数的周期性。

    ④借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-π/2,π/2)上的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)。

    ⑤理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,sin x/cos x=tan x。

    ⑥结合具体实例,了解y=Asin(ωx +φ)的实际意义;能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx +φ)的图象,观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。

    ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

    (2)与以往的三角函数内容相比较,本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识的要求,加强了对借助单位圆理解三角函数的概念、性质,以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容。"标准"删减了任意角的余切、正割、余割,已知三角函数求角,反三角函数符号等内容。降低了对任意角概念,弧度制概念,同角三角函数的基本关系式,诱导公式,三角函数的奇偶性的要求。这样的处理,把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上,而对一些细枝末节的内容不再

    作过多要求。教学时应当把握好这种变化,遵循 "标准"所规定的内容和要求,不要随意补充已被删减的知识点。也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知sina=m求的其他三角函数值;用诱导公式进行复杂变换的问题等)。

    (3)但是也不能放松基本的技能训练,应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式,同角三角函数关系式,能用五点法画出正(余)弦函数的图象等,因为这是利用三角函数解决问题的基础。

    2。注意从数学模型的角度来认识三角函数,突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。

    说明要点:

    (1)要突出数学模型思想。教学中应当充分利用章引言提供的情境,引导学生利用学习《函数》的经验,自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动,使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识,在此基础上,要充分注意运用三角函数模型解决实际问题的教学,使学生经历运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。

    (2)要充分发挥形数结合思想方法在本章的运用。发挥单位圆、三角函数线、图象的作用。

    (3)运用和深化函数思想方法。

    三角函数是学生在高中阶段系统学习的又一个基本初等函数,教学中应当注意引导学生以数学l中学到的研究函数的方法为指导来学习本章知识,即在函数观点的指导下,学习三角函数,这对进一步理解三角函数概念,理解函数思想方法对提高学生在学习过程中的数学思维水平都是十分重要的。

    (4)例:用集合与对应的函数观点看三角函数,这是一种“多对一”的函数;用函数研究中的基本问题(对应关系、定义域、值域、表示方法、图象,性质等)来理解学习三角函数的进程;在讨论y=Asin(ωx+φ)的图象时,渗透函数变换与图象变换 (平移、伸)的关系。(需要注意分寸)

    3。以问题为中心,充分发挥理性思维在建构数学模型中的作用。

    4。恰当地使用信息技术。


    第9章  平面向量

    一、教材定位

    问:首先请你谈谈对本章教材的定位。

    对一种具有丰富的几何背景与物理背景的近代数学模型的研究。

    说明要点:

    (1)向量是具有深刻的几何背景和物理背景的数学模型;

    (2)向量是近代数学中重要的、基本的概念,也是一种基本的重要的数学工具;

    ①向量既是代数的对象,又是几何的对象。作为代数对象,向量可以运算。作为几何对象,向量有方向,可以刻画直线、平面等几何对象;向量有长度,可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定,大小反映了向量数的特征,方向反映了向量形的特征,因此,向量是集数形于一身的数学概念,是数学中数形结合思想的典型体现。

    ②向量是抽象代数、线性代数、泛函分析中的基本数学模型,是理解这些数学内容的基础:

    ③向量也是重要的物理模型。平面力场、平面位移场以及二者混合产生的做功问题,都可以用向量空间来刻画和描述。

    向量不仅沟通了代数与几何的联系,而且,体现了近现代数学的思想,它在高中数学中的重要地位是不言而喻的。

    二、教材特点

    问:教材的定位对教材的编写有什么样的影响,苏教版教材有什么样的特点?

    ● 按照数学模型研究的一般程序展开教材;

    说明要点:

    (1)和《函数》、《三角函数》类似,本章也是对一种数学模型的研究。教材也是按照对数学模型研究的一般程序即“建构模型——研究模型——应用模型”的顺序展开的。这样的编写顺序不仅符合向量知识的发展过程,而且可以唤起学生在《函数》、《三角函数》学习中获得的经验,在助于发挥学生在学习中的主动权。

    (2)本章首先现实根据学生的生活经验,创设丰富的情境,从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型),然后用数学的方法研究向量及其运算的性质,最后再运用数学模型去解决实际问题.这样处理体现了数学知识产生和发展的过程,突出了数学的来龙去脉,有助于学生理解数学的本质,形成对数学完整的认识,达到培养学生的创新思维和理性思维的目的,同时也有助于数学应用意识的发展.

    (3)以问题为中心,用问题链为线索揭示知识的发生过程。

    插入幻灯片《向量的线性运算》

    ●    用什么样的数学模型来刻划位移,速度、力这样的量?

    ●    这样的数学模型在什么性质与应用?

    ● 这里的向量OA,AB,OB之间有什么关系?

    本章按照如下次序来编排:

    向量的实际背景及基本概念→向量的几何表示和线性运算→平面向量基本定理→向量看坐标表示→向量的数量积→向量应用举例。

    插入本章结构图幻灯片

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    当然,和函数这样的数学模型不同,向量这一数学模型也有它的特点,在向量的学习中,学生会碰到新的问题,如何突出向量这一数学模型的特点,如何帮助学生理解向量的核心内容,是我们在编写教材时着重考虑到的问题。

    问:向量这一数学模型具有什么样的特点呢?特别地,在对这一数学模型的研究中要注意什么问题呢?

    说明要点:

    ● 突出向量的物理背景和几何背景;

    ● 突出运算的核心地位;

    ● 突出向量与相关知识的联系。

    说明要点:

    ● 突出向量的物理背景和几何背景;

    说明要点:

    (1) 教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引人向量概念。

    插入章引言幻灯片:引言

    章头图中矫健的银燕连同它身后的航迹,像利箭直插天穹。它使人联想到下面的问题:怎样表示运动物体的位移和速度呢?于是建构向量的思维活动就此展开了。

    引言首先说明了本章的研究课题是第8章研究内容的拓展。三角函数可以看成是圆周(O)上一点P绕圆周运动的数学模型。而向量则是为了刻画更一般的运动而建立的数学模型。这时,只有同时考虑点P的方向和大小才能确定点P的位置。

    接着引言又指出,在生活中,既有大小又有方向的量是很多的,如位移、速度、力等等都是。这样就从知识结构和现实生活两个方面为向量的研究提供了广阔的背景。

    在此基础上,引言提出了问题:用什么样的数学模型来刻划位移、速度、力这样的量?这个数学模型有什么性质与应用?

    这就是本章的中心问题,也是本章的知识增长点。

    接着教材又以位移为原型,建立了向量的概念,接着用有向线段给出了向量的儿何背景,并定义向量的模、单位向量等概念。这样的安排,可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用,使学生建立起理解和运用向量概念的背景支撑。

    (2)在有关向量的运算中,教材也注意突出向量运算的原型。

    如:以位移的“积累“为原型定义向量的加法和数乘;以功为原型定义向量的数量积。在研究向量的线性运算时,充分发挥有向线段几何背景的作用。如用有向线段来解释数乘的几何意义。在向量基本定理中,提供力的分解和速度分解的背景。

    (3)在向量的应用中,揭示它丰富的背景。

    插入向量的数量积的幻灯片。

    ●       突出运算的核心地位

    说明要点:

    (1)运算是向量的核心内容,对中学生来说,根据现实的原型,自觉地“构造”运算,还是第一次。虽然学生对运算并不陌生,但是,他们眼中的运算只有数的运算、字母(式)的运算。现在要学习向量的运算,这对于运算的理解时一个突破;

    (2)教材在处理向量运算的内容时,注意和数的运算进行类比,这样既可以有效地利用学生有关数的运算的经验,而且可以帮助学生发展对运算的认识。

    例如:和数进行类比,在建立了向量的运算以后,研究向量的运算(加、减、数乘等等)和它们满足的运算律,在定义了运算以后,探讨运算的应用,就都是很自然的了。

    (3)和数学中的概念一样,数学对象的运算也是一种数学模型,它也有一个建构的过程,它同样是从原型中抽象出来的。教材特别注意展示这个建构过程。

    如向量的加法就是从位移的积累,从分力和合力的关系中抽象出来的。

    特别地,向量的数量积是以功为原型抽象出来的。

    (4)我们知道,只有建立了数的表示方法,才能讨论数的运算问题。类似地,在讨论向量的运算之前,必须先要解决向量表示的问题。由于向量既是代数对象,又是几何对象,因而向量具有多种表示方法。作为代数对象,向量可以用一个“符号”表示;作为几何对象,向量可以用有向线段表示。在学习了向量基本定理以后,还可以用坐标来表示。实际上,向量的每一种表示方法,都建立了一种语言。对向量的运算也可以用不同的语言来表示。在教材中,先用几何语言即有向线段来表示向量的线性运算。然后再用代数语言来坐标语言来表示。这样就使向量成为联系代数和几何的桥梁,成为解决现实问题和数学问题的工具。

    (5)向量是通过运算来解决问题的。

    向量之所以能解决几何问题,是是因为向量具有明确的几何背景,向量的运算及运算律具有明显的几何意义,因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向蛩及其运算得到解决。几何图形的性质,也可以在向量的运算律中得到反映。例如,平行四边形可以看成表示向景加法和减法的几何模型,而向量的加法及其交换律又可以表示平行四边形的性质 (在平行四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,所以△ABD≌△CDB。这样,建立了向量运算 (包括运算律),与几何图形之间的关系后,可以使图形的研究推进到有效能算的水平,向量运算 (运算律,把向量与几何、代数有机地联系在一起。

    ● 突出向量的工具作用,注意与相关知识的联系;

    说明要点:

    (1)教材特别注意联系实际,注意向量与相关学科(如:力学、物理学、几何、代数、三角)的联系。注意用向量方法解决各类问题。

    (2)在例题和习题中都安排了向量在相邻领域内的应用题。

    P87页“阅读”:向量源自力学)

    三、编写中考虑的几个问题

    1。本章和本模块其它各章的关系。

    (1)《三角函数》、《平面上的向量》、《三角变换》,一起构成了本教学模块。对现实世界中广泛存在的周期现象进行数学的研究是本模块的主题。

    在第8章中,我们迈出了对周期现象研究的第一步:建立了一种描述和刻划周期现象的重要的数学模型:并初步探讨了它的性质。而在第9章中,又将以向量为工具来探讨三角函数的运算性质。因此,从整体上看,在新课程中,《向量》的学习应该放在对周期性现象的研究这一大背景下进行。这样可以更好地体现向量这工具价值。

    这种考虑集中地体现在本章的引言中。

    插入“引言”幻灯片。

    2。知识展开的顺序

    说明要点:

    (1)向量既是几何对象,又是代数对象。向量的知识体系有各种不同的展开方式。如:“先代数后几何”的方式。即先讲向量的坐标表示,从代数的角度研究向量的运算,然后再把它应用到几何中去:也可以采用“先几何后代数”的方式。教科书基本上就是采用的第2种方式。

    (2)第二种方式比较符合中学生的认知特点和抽象思维的水平。也基本上和建立向量的历史过程相符。

    (3)教材以向量知识发展的过程为依据,采用了先形后数,形数结合,逐步形式化的呈现方式。

    教材从有关的背景建立平面向量的概念后,首先介绍了向量的几何表示方法,用有向线段表示向量,并以此为依托,讨论了向量的线性运算。在这个过程中,紧紧地抓住向量的“长度”和“方向”这两个要素,在直观层面,在几何的层面上对向量进行研究。这构成儿本章的第一段落:

    接着,我们把向量放到坐标系中,建立了向量的坐标表示(即代数表示)方法,把用几何方法得到的研究成果,逐一“翻译”成代数的语言。这样就可以用坐标来表示向量(有向线段)的平行,相等等关系,表示向量的线性运算法则,即将研究的成果形式化。就构成了本章的第二段落。

    最后,教材又从几何和代数两个层面定义了向量的数量积。得到了用两种不同的语言表示的数量积的法则,从而建立起代数和几何的联系,这就构成了用形数结合的方法研究向量的第三个段落。

    (4)向量法是一种重要的数学方法。其实向量法的思想正来从上述过程中抽象出来的。

    用向量的方法解决几何问题的主要程序如下:

    [形到向量]——[向量的运算]——[向量到形]

    (5)由于向量的概念和运算都具有物理的原型,因此,上述研究也建立了几何,代数与物理的联系。类似地也可以利用向量解决物理问题。

    (6)上面的研究程序,实际上是从代数层面上对向量的研究。所有这些,这样就得到了用代数形式表示的,得到了用我们知道,只有建立了数的表示方法,才能讨论数的运算问题。类似地,在讨论向量的运算之前,必须先要解决向量表示的问题。由于向量既是代数对象,又是几何对象,因而向量具有多种表示方法。作为代数对象,向量可以用一个“符号”表示;作为几何对象,向量可以用有向线段表示。在学习了向量基本定理以后,还可以用坐标来表示。实际上,向量的每一种表示方法,都建立了一种语言。对向量的运算也可以用不同的语言来表示。在教材中,先用几何语言即有向线段来表示向量的线性运算。然后再用代数语言来坐标语言来表示。

    3。平面向量和空间向量的关系

    说明要点:

    (1)教材中研究的平面向量只是向量的特例。但是它却蕴含了向量的基本思想,也是进一步学习向量的基础,在选修教材中,学生还会学习空间向量,如何使本章的学习内容具有发展性,为学生的进一步学习留有空间是编写教材时考虑的一个问题。

    (2)以“平面向量基本定理”为例说明。

    插入幻灯片《平面向量基本定理》

    ①在学习平面向量基本定理之前,介绍“向量共线定理”作为铺垫;

    ②在学习平面向量基本定理时,先提供物理背景,进而提出(猜想)课题:

    ③在证明定理以后,用《思考》提出问题:“平面向量基本定理与前面所学的向量共线定理,在内容和表述上有什么区别和联系?”

    ④在P90的《数学探究》中,提出下面的问题:“给出空间向量定理,并说明理由。”为学生的发展留下空间。

    插入《数学探究》幻灯片。

    四、教学建议

    1。明确教学要求;

    说明要点:

    (1)教学要求:

    2.平面向量(约12课时)

    (1)平面向量的实际背景及基本概念

    通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景,理解平面向量和向量相等的含义,理解向量的几何表示。

    (2)向量的线性运算

    ① 通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义。

    ② 通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义。

    ③ 了解向量的线性运算性质及其几何意义。

    (3)平面向量的基本定理及坐标表示

    ① 了解平面向量的基本定理及其意义。

    ② 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

    ③ 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。

    ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

    (4)平面向量的数量积

    ① 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

    ② 体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

    ③ 掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算。

    ④ 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

    (5)向量的应用

    经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。

    (2)实现教学目标的关键在于:

    ①清晰准确地理解概念、运算;为此要明确“原型”,“物理意义”,“几何意义”;

    ②运用向量运算解决问题,掌握作为重要数学工具的向量。关键在于理解向量方法的实质。

    2。让学生参与建构活动;

    说明要点:

    (1)要让学生参与建构向量及其运算的活动,经历建构过程,引导学生认识到向量是一种描述现实问题的数学模型。

    (2)要让学生了解向量的物理背景、几何背景,知道它的原型。

    (3)通过建构活动,让学生熟悉向量及其运算的几何意义,物理意义,这是灵活运用向量解决问题的基础。

    3。让学生明确研究向量问题的基本思路。

    (1)向虽是代数的对象。作为代数对象,向量可以运算,而且正是因为有了运算,向量的威力才得到充分的发挥:

    (2)向量又是几何对象,所以向量可以刻画儿何元素 (点、线、面,利用向量的方向可以与三角函数发生联系:

    (3)正因为,向量“一身二任”,所以几何图形的许多性质会表现为向量的运算性质,这样我们就可以通过向量的运算来描述和研究几何元素之间的关系(如直线的平行、垂直等),确定几何图形的长度、面积、夹角等等:

    例子:

    在贯穿向量教学的全过程中,都要向学生讲清本章研究的总思路,让学生明确向量研究的基本思路。特别是在学完本章后,更应引导学生反思,因为这对于向量方法的理解是至关重要的。

    (4)让学生理解向量方法的实质。

    ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面儿何问题抟化为向量问题;

    ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

    ③把运算结果"翻译"成几何关系。


    第10章    三角变换

    1。教材的定位

    问:首先请你谈谈对本章教材的定位。

    答:本章的主要教学内容是三角函数式的恒等变换。其实只涉及一个角的恒等变换在《三角函数》中已经做了研究。

    插入本章目录

    对教材的定位是:

    (1)是(在第8章的基础上)对三角函数这一数学模型(运算)性质的进一步研究;

    (2)是用演绎方法(借助于运算),建立数学知识体系的一个范例。

    说明要点:

    (1)三角恒等变换公式实质上是三角函数的运算性质,而运算性质是函数的重要性质;是对函数研究的一个方面(可以和对数函数、指数函数类比);

    (2)如果不研究三角变形就不能发挥三角的工具价值;

    (3)三角变换公式繁多,但相互之间存在着紧密的逻辑联系,从一个公式出发,就可以推出其它的公式。这种类似于公理化的结构,在中学数学中是不可多得的。另一方面,三角恒等变换也是一种演绎推理的方式,应该充分发挥它在培养学生推理能力

    2。教材特点

    问:教材的定位对教材的编写有什么样的影响,苏教版教材有什么样的特点?

    答:教材具有下面的的特点

    ●把演绎的知识结构放在“对周期性现象作数学研究”的大背景下展开。

    本章的教学内容是按照三角变换公式之间的逻辑联系展开的。


    这是一个逻辑的演绎的体系,为了突出三角函数的主干内容,特别是突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质,在教科书中,这个演绎的体系是放在对周期现象进行研究的大背景下建立的。首先,在引言中就从周期运动合成的角度提出三角变换的课题,在讨论了和差角公式以后,教科书又通过《链接》,给出了正弦函数、余弦函数叠加的问题的结论。本章就构成了一个相对完整的数学发现和应用的过程。这样的安排,有助于学生从总体上理解三角变换。

    ●运用问题链,展现公式的发现和推导过程。

    在传统的教学中,往往把三角变换单纯地视为基本的技能训练,强调反复的练习和操作,强调三角变换的具体方法和技巧,造成了公式头绪多,练习习题难,技巧方法刁的现象。和过去相比,教科书更重视公式的发现和推导过程,重视学生在三角变换中的思维过程,重视这些过程中的思维活动,和指导这些活动的思想方法。这和传统的教学是有明显的区别的。

    根据《课程标准》的要求,教科书降低了对三角变换的要求。特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练,避免任意加大三角变换的难度,防止在三角变换中深挖洞的现象。

    ●注意从运算的角度看待三角变换。

    注意从运算的角度看待三角变换。把三角变换看成是三角函数的运算。这样就使的三角变换和运算(包括向量的运算)发生了联系。在教科书中,三角变换的公式都是通过运算的方法推导和证明的。在本章最后更从运算的角度提出和差化积、积化和差的研究课题。

    ●注意突出向量和三角函数的联系。

    教科书利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,并由此公式作为出发点,推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式。

    8.本章中的三角变换公式都是由余弦的差角公式推导出来的,化归思想是推导这些公式的主导思想。在教学中,不任是在推导公式时,还是在应用公式时,都应该自始至终地贯彻这一思想。

    3。编写中考虑的几个问题

    1。背景的的设置

    问:请结合教材中几个重要的问题谈谈,你们是怎样处理的。例如你们是怎样提供本章的背景的?

    插入章引言

    说明要点:

    这种处理方法体现了

    (1)本章的研究内容与第8章的联系,是它的深入;

    (2)体现了向量的作用;

    章头图、引言

    从章头图中我们又看到了大海——浩瀚的大海中两朵撞击的浪花。这暗示着本章和第8章《三角函数》的联系。事实上,本章讨论的主题是三角函数的运算,它可以看成是笫8章的延伸和发展。

    循着第8章的轨迹,在引言中,提出了“周期运动的叠加”的问题。(两个简谐摇动叠加后是否还是简谐掀动?)

    接着,教科书以向量为工具对一个特例进行了分析,提出了一个具体的问题:sinx+cosx能够恒等变形为Asin(ωx+φ)的形式吗?这样就抓住了本章知识的增长点,从此展开了探索活动。这样的安排,就为三角变换的教学提供了一个大背景,使它不仅仅是一种抽象的形式的变换,而且成为“对周期性现象建立数学模型”(这正是本教学模块的这样一个大课题)的研究中的重要组成部分。

    在这个引言中,还突出了向量作用,为用向量方法推导两角差的余弦公式做铺垫。

    2。两角差的余弦公式的推导

    问:余弦的差角公式的推导是本章教学的重点和难点,教科书是怎样处理这部分教学内容的?

    插入P97《两角和与差的余弦》

    答:(1)余弦的差角公式的推导是本章教学的重点和难点,它不仅是推导正弦的和(差)角公式、正切的和(差)角公式以及倍角公式的基础,而且其推导过程本身就具有重要的教育价值。

    (2)课标要求:经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。

    (3)为了让学生主动地参与公式的发现和推导活动,教科书为学生的发现活动提供了广阔的空间。

    (4) 从解决引言中的问题出发,提出了本节的研究课题(问题链)

    教科书在本大节的引言中首先用向量的方法解决了本章引言中提出的问题,这不仅是用向量方法推导cos(α-β)的公式的“预演”,而且由此提出了本节的研究课题:cos(α-β)能否用α的三角函数与β的三角函数来表示?

    (5)教科书直接用向量的数量积的方法来推导余弦的差角公式的,这样做不仅推导的过程更为简捷,而且可以更好地揭示向量与三角函数的联系,帮助学生更好地学会这一重要的方法。

    (6)为了让学生理解向量方法,教科书做了若干辅垫。(如在《向量》一章的练习中,安排了使用向量运算的方法推导有关结论的练习题,更在本节的引言部分,通过利用这种方法推出了cosx+sinx=cos(x-)等等)。

    (7)在提出问题和用向量解决问题之间,教科书用“留白”的方式给学生的活动留下儿空间。在教学中可以适当展示推导公式的思维过程。在正式推导之前,可以让学生谈谈自己的想法,研究和分析可能出现的思路。例如可以向学生提出如下的问题:

    a)         cos(α+β)是否等于coSα+cosβ?

    b)        在正式的推导公式之前你能猜出公式吗?

    c)        如果不能猜出具体的公式,你能猜出公式所具有的某些特点吗?

    d)        说说你推导公式的思路。

    在推出公式之后,还可以引导学生对推导过程进行反思,欣赏向量方法的美妙。

    (8)为了让学生真正体会到向量方法的优越性,教科书通过“探究”、“思考”、“习题”等形式给出了推导公式的不同思路。所有这些,都可以让学生体会到向量方法的优越性。

    3。对和差化积、积化和差等公式的处理。

    问:课程标准要求“引导学生推导积化和差、和差化积、半角公式,以此作为三角形恒等变换的基本训练“,对此,教科书是怎样处理的?

    说明要点:

    (插入幻灯片P118)

    依据《标准》的要求,教科书把本节的教学内容安排为学生的探索活动。

    教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题。这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法。用这种方法提出问题可以更好地提示知识间的内在联系,体会到推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用。从运算的角度提出问题,还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算,丰富对运算的认识,从而把三角变换的研究纳入整体的数学体系之中。

    科学发现是从问题开始的。没有问题就不可能有深入细致的观察。据此,教科书在“观察”和角公式之前有一个提出问题的环节。这是一个十分重要的环节。

    在推导了公式sinθ+sinφ以后,可以让学生推导(而不是证明)其余的和差化积及积化和差公式。本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题只是为了让学生有一个正确完整的结论。

    和差化积公式、积化和差公式、万能代换公式、半角公式都不要求记忆和运用,要注意不应该加大三角变换的难度,不要在三角变换中深挖洞。

    4。发展学生的推理能力与运算能力

    问:发展学生的推理能力和运算能力是三角变换教学的重要目标,在教材的编写过程中,你们是怎么处理这个问题的?

    说明要点:

    (1)对推理能力和运算能力的培养应贯穿于教学的始终。不仅在应用公式的练习中要体现这种要求,而且在公式的推导过程中也应该体现这方面的要求。

    (2)在教材中,不论是公式的推导,还是例题的解决,都突出了化归的思想,都是在化归思想指导下进行的.

    在这里,既有从已知到未知的化归(如由余弦的差角公式,推出其余的和角公式)也有从一般到特殊的化归(如从和角公式推出倍角公式).有了化归思想,就可以理解公式推导和变形的思路,从而把握住公式的内在联系和三角变换的思考方向.

    (3)在教材中,重视了公式特点的分析,只有掌握了公式的特点,才能正确地选用公式。

    插入P103—104例题的幻灯片

    (4)强调变换的目标。引导学生认识到三角变换不仅是三角函数式结构形式的变换,不同三角函数之间的变换,还有角的变换,而且角的变换是三角变换的实质。在教材中,我们特别注意了通过角的关系来寻找解题的思路。

    四、教学建议

    问:最后请谈谈在,在教学中使用苏教版教材时,要注意那些问题?

    说明要点

    1。准确地把握教学要求。

    课程标准对本章提出了下面的要求:

    (1)经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用。

    (2)能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。

    (3)能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括尝试导出积化和差、和差化积、半角公式,但不要求记忆,,通过这些基本训练,使学生进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,体会一般与特殊的关系与转化、换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用。

    (4)在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力。

    根据《课程标准》的要求,教科书降低了对三角变换的要求。特别是不再要求用积化和差、和差化积、半角公式等作复杂的恒等变形,而把推导积化和差、和差化积、半角公式作为三角恒等变换的基本训练,避免任意加大三角变换的难度,不要随意补充已被删减的内容,也不要引进那些繁琐的,技巧性高的难题,更不要一味在细微耒节上做文章。

    注意基础训练。

    2。对公式asinx+bcosx的处理。

    说明要点:

    (1)总的背景;

    (2)作为和差角公式的逆向应用;(从P102例3到思考)

    (3)在习题中,对asinx+bcosx的处理;

    (4)阅读材料《正弦函数与余弦函数的叠加》

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